高等数学第 18 章：多元积分与场论

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蓝笔补充｜使用说明

本文由原扫描件第 75—91 页整理，共 17 页。正文与公式可搜索；积分区域、方向和投影关系保留必要局部裁图；每页均可打开对应原稿。

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• 三重积分
• 第一型曲线积分
• 第一型曲面积分
• 第二型曲线积分与 Green 公式
• 第二型曲面积分与 Gauss 公式
• 空间曲线积分与 Stokes 公式
• Green、Gauss、Stokes 对照
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本章积分对象与方向性的对应关系：

积分对象	典型形式	是否有方向
三重积分	${\iiint }_{\Omega }fdV$	无方向
第一型曲线积分	${\int }_{L}fds$	无方向
第二型曲线积分	${\int }_{L}Pdx+Qdy$	有方向
第一型曲面积分	${\iint }_{\Sigma }fdS$	无方向
第二型曲面积分	${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$	有方向
空间第二型曲线积分	${\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz$	有方向

方向积分与区域积分之间由三大公式连接：

$$\text{Green：闭曲线}⟶\text{平面区域},$$ $$\text{Gauss：闭曲面}⟶\text{空间区域},$$ $$\text{Stokes：闭曲线}⟶\text{所张曲面}.$$

18.1 三重积分

18.1.1 概念与性质

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设空间区域 $\Omega$ 被分成小体积 $\Delta V_i$，在每个小区域内任取点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$。若极限

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$$

存在且与分割及取点无关，则定义

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV.$$

连续函数在有界闭区域上三重可积。其线性、区域可加、保序、绝对值不等式、估值和积分中值定理与二重积分完全类似：

$${\iiint }_{\Omega }1dV=V_{\Omega },$$ $$\left|{\iiint }_{\Omega }fdV\right|\le {\iiint }_{\Omega }|f|dV,$$

若 $m\le f\le M$，则

$$m{V}_{\Omega }\le {\iiint }_{\Omega }fdV\le M{V}_{\Omega }.$$

若 $f$ 连续，则存在 $(\xi ,\eta ,\zeta )\in \Omega$ 使

$${\iiint }_{\Omega }fdV=f(\xi ,\eta ,\zeta )V_{\Omega }.$$

三重积分的对称性

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若 $\Omega$ 关于 $xOy$ 面对称，则比较

$$f(x,y,z)\text{与}f(x,y,-z).$$

偶对称时取一半区域乘 $2$，奇对称时积分为 $0$。关于其他坐标面、坐标轴或原点的结论同理。

若区域与被积函数对变量交换保持不变，例如

$$f(x,y,z)=f(y,x,z),$$

则可交换 $x,y$。球域内还常用

$${\iiint }_{\Omega }f(x)dV={\iiint }_{\Omega }f(y)dV={\iiint }_{\Omega }f(z)dV.$$

例如在球域上，

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV.$$

18.1.2 直角坐标下的计算

若 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面的投影为 $D_{xy}$，且

$$z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),$$

则

核心公式｜先一后二

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]dxdy.$$

若区域更适合沿 $z$ 分层，令截面区域为 $D_z$，则

核心公式｜先二后一

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\int }_a^b\left[{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy\right]dz.$$

蓝笔补充｜选法原则

有清晰上下曲面时优先“先一后二”；截面面积容易写或侧面复杂时可用“先二后一”。

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18.1.3 柱面坐标与球面坐标

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柱面坐标

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,$$ $$dV=rdrd\theta dz.$$

柱面坐标适用于绕 $z$ 轴旋转对称的区域或含 $x^2+y^2$ 的被积函数。

球面坐标

采用原稿约定：

$$x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi ,$$ $$dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta .$$

常用范围为

$$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \pi ,r\ge 0,$$

再根据区域缩小各变量范围。

重点订正｜两个 Jacobian

柱面坐标不能漏 $r$；球面坐标不能漏 $r^2\sin \phi$。

18.1.4 三重积分的一般换元

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设

$$x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),$$

则

$${\iiint }_{{\Omega }_{xyz}}f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }_{uvw}}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|dudvdw.$$

Jacobian 为

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|.$$

18.1.5 三重积分的应用

体积

$$V_{\Omega }={\iiint }_{\Omega }1dV.$$

质量与重心

若密度为 $\rho (x,y,z)$，则

$$M={\iiint }_{\Omega }\rho dV,$$ $$\bar{x}=\frac{{\iiint }_{\Omega }x\rho dV}{M},\bar{y}=\frac{{\iiint }_{\Omega }y\rho dV}{M},\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }z\rho dV}{M}.$$

若密度为常数，重心即形心。

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转动惯量与引力

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若密度为 $\rho (x,y,z)$，则对三个坐标轴的转动惯量分别为

$$I_x={\iiint }_{\Omega }(y^2+z^2)\rho dV,$$ $$I_y={\iiint }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho dV,$$ $$I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho dV.$$

对原点的转动惯量

$$I_O={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)\rho dV=\frac{1}{2}(I_x+I_y+I_z).$$

若空间物体对点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 产生万有引力，则各分量可按

$$F_x=Gm{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)\frac{x-x_0}{{\left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\right]}^{3/2}}dV$$

及其对 $y,z$ 的对应式计算。符号取决于向量方向的约定。

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18.2 第一型曲线积分

18.2.1 概念、性质与对称性

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设曲线弧 $L$ 上分布着线密度 $f(x,y)$，弧长微元为

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}.$$

第一型曲线积分记为

$${\int }_{L}f(x,y)ds.$$

它表示“沿曲线按弧长累加”。因为 $ds\ge 0$，积分值与曲线的行进方向无关。

常用性质：

1. ${\int }_{L}1ds$ 等于曲线 $L$ 的弧长；
2. 线性：${\int }_L(af+bg)ds=a{\int }_{L}fds+b{\int }_{L}gds$；
3. 对曲线可加：若 $L=L_1+L_2$，则 ${\int }_{L}fds={\int }_{L_1}fds+{\int }_{L_2}fds$；
4. 若 $m\le f\le M$，则 $ml(L)\le {\int }_{L}fds\le Ml(L)$；
5. 若 $f\le g$，则 ${\int }_{L}fds\le {\int }_{L}gds$；
6. 若 $f$ 连续，则存在 $\xi \in L$，使 ${\int }_{L}fds=f(\xi )l(L)$。

对称性

若曲线关于某坐标轴或坐标面对称，应同时观察：曲线是否成对、被积函数关于相应变量是奇函数还是偶函数。奇函数在对称部分上的积分相消，偶函数可取一半区域再乘 $2$。

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18.2.2 计算公式与应用

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平面曲线

若 $L:y=y(x)$，$a\le x\le b$，则

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx.$$

若 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t)$，$\alpha \le t\le \beta$，则

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

若用极坐标 $r=r(\theta )$，则

$$ds=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta .$$

空间曲线

若 $L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，则

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt.$$

典型应用

若线密度为 $\rho$，则

$$l(L)={\int }_{L}1ds,M={\int }_L\rho ds,$$ $$\bar{x}=\frac{{\int }_{L}x\rho ds}{M},\bar{y}=\frac{{\int }_{L}y\rho ds}{M},\bar{z}=\frac{{\int }_{L}z\rho ds}{M}.$$

转动惯量只需把到转轴距离的平方乘入被积函数。例如对 $x$ 轴：

$$I_x={\int }_L(y^2+z^2)\rho ds.$$

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18.3 第一型曲面积分

18.3.1 概念、性质与对称性

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第一型曲面积分按面积微元累加：

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS.$$

它与曲面所选侧无关。若曲面为 $z=z(x,y)$，则

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy.$$

其线性、可加性、保号性、比较性质和中值定理与二重积分类似。对称性判断也只看曲面与被积函数，不涉及曲面方向。

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18.3.2 计算公式与应用

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★ 计算第一型曲面积分的关键是选择投影面。若曲面对某坐标面的投影不是一一对应，或在投影方向出现竖直切面，应先分片。

若 $\Sigma :z=z(x,y)$，投影区域为 $D_{xy}$，则

$${\iint }_{\Sigma }fdS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy.$$

类似地，若 $x=x(y,z)$ 或 $y=y(x,z)$，分别投影到 $yOz$ 或 $xOz$ 平面。

常用曲面面积元：

曲面	选取的投影	面积元
圆柱面 $x^2+y^2=a^2$	$xOz$	$dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}dxdz$（单片）
球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$	$xOy$	$dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$（单个半球）
圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$	$xOy$	$dS=\sqrt{2}dxdy$

若面密度为 $\rho$，则曲面面积、质量与重心分别为

$$S={\iint }_{\Sigma }1dS,M={\iint }_{\Sigma }\rho dS,$$ $$\bar{x}=\frac{{\iint }_{\Sigma }x\rho dS}{M},\bar{y}=\frac{{\iint }_{\Sigma }y\rho dS}{M},\bar{z}=\frac{{\iint }_{\Sigma }z\rho dS}{M}.$$

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18.4 第二型曲线积分

18.4.1 概念、性质与方向性

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平面向量场 $\mathbf{F}=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L$ 的第二型曲线积分为

$${\int }_{L}Pdx+Qdy.$$

它可表示变力沿曲线所做的功，也可表示向量场沿闭曲线的环流。与第一型曲线积分不同，它依赖曲线方向；反向后积分变号：

$${\int }_{-L}Pdx+Qdy=-{\int }_{L}Pdx+Qdy.$$

它具有线性和路径可加性。使用对称性时，必须同时检查路径映射后的方向，以及 $Pdx$、$Qdy$ 各项的奇偶变化。

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18.4.2 直接计算与 Green 公式

来源说明｜原稿第 2 页

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★★★ 第二型曲线积分的直接计算与 Green 公式是本章重点。

若有向曲线写成 $y=y(x)$，且方向对应 $x:a\to b$，则

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)\right]dx.$$

若 $x=x(t),y=y(t)$，方向对应 $t:\alpha \to \beta$，则

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt.$$

Green 公式

设 $D$ 为平面单连通区域，正向边界 $\partial D$ 使区域始终位于行进方向左侧，则

$${\oint }_{\partial D}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.$$

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18.4.3 与路径无关、全微分与原函数

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在单连通区域 $D$ 内，若 $P,Q$ 具有连续一阶偏导，则下列命题等价：

1. ${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关；
2. 对 $D$ 内任意闭曲线 $C$，${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$；
3. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. 存在势函数 $u(x,y)$，使 $du=Pdx+Qdy$。

求势函数时可选一条便于计算的折线路径：

$$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,s)ds+C.$$

于是

$${\int }_A^{B}Pdx+Qdy=u(B)-u(A).$$

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18.5 第二型曲面积分

18.5.1 概念、性质与方向性

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★★★ 第二型曲面积分依赖曲面的侧，是通量问题的基本形式。

若向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，有向曲面 $\Sigma$ 的单位法向量为 $\mathbf{n}$，则

$${\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.$$

封闭曲面通常规定外侧为正侧；非封闭曲面须按题意选上侧、下侧或指定方向。改变曲面侧，积分变号。

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18.5.2 投影计算

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若曲面为 $z=z(x,y)$，取上侧，则向量面积元为

$$d\mathbf{S}=(-z_x,-z_y,1)dxdy,$$

因此

$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{D_{xy}}(-P{z}_x-Q{z}_y+R)dxdy.$$

取下侧时整体变号。对 $x=x(y,z)$、$y=y(z,x)$ 可同理投影到 $yOz$、$zOx$ 平面。

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18.5.3 Gauss 公式

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★★★ 对分片光滑闭曲面的外侧，Gauss 公式为

$$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV.$$

使用前应确认：

1. 曲面是否闭合；若不闭合，先补面再减去补面的通量；
2. 法向是否为外侧；若取内侧，结果应变号；
3. $P,Q,R$ 及其偏导在区域内是否连续；存在奇点时需挖洞，并处理小球面的通量；
4. 若散度为零，可在不跨越奇点的前提下用更简单的同边界曲面替换。

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18.6 空间第二型曲线积分与 Stokes 公式

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空间有向曲线 $L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)$ 上的积分为

$${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }\left(P{x}^{\prime }+Q{y}^{\prime }+R{z}^{\prime }\right)dt.$$

★★★ Stokes 公式把空间闭曲线积分化为以它为边界的曲面积分：

$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS,$$

其中 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，且

$$\nabla \times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|.$$

曲线 $\Gamma$ 的正向与曲面法向 $\mathbf{n}$ 按右手定则匹配。计算时应在所有以 $\Gamma$ 为边界的曲面中选择最简单者；若更换曲面，不得跨越向量场的奇点。

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三大公式总表

公式	左端对象	右端对象	方向约定	核心条件
Green	平面闭曲线积分	二重积分	外边界逆时针、内边界顺时针	平面区域内偏导连续
Gauss	闭曲面通量	三重积分	闭曲面外侧	空间区域内偏导连续
Stokes	空间闭曲线积分	曲面旋度通量	边界与法向满足右手定则	曲面及其邻域内偏导连续

可用一句话记忆：

$$\text{边界上的积分}=\text{内部相应微分量的积分}.$$

复习速查

1. 遇到第一型积分：先写弧长元或面积元，不考虑方向。
2. 遇到第二型积分：先确定曲线方向或曲面侧，再选直接参数化、投影或三大公式。
3. 遇到闭曲线：优先检查 Green；遇到闭曲面：优先检查 Gauss；遇到空间闭曲线：优先检查 Stokes。
4. 使用三大公式前，必须检查闭合性、方向、光滑性和奇点。
5. 对称性不能只看函数：第二型积分还要同时追踪 $dx,dy,dz$ 或法向量的符号变化。

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