高等数学第 17 章：空间解析几何与向量分析

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本文对应原扫描件第 66—74 页，共 9 页。正文与公式均可搜索；空间二次曲面以及切线、法平面的几何关系保留为局部裁图。

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• 向量代数
• 平面与直线
• 空间曲线与曲面
• 切线、法平面与法线
• 方向导数与梯度
• 散度与旋度
• 原稿：1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

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17.1 向量代数

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本章内容由四部分构成：向量代数，空间平面、直线及其位置关系，空间曲线与曲面，以及方向导数、梯度、散度和旋度等微分算子。

17.1.1 向量的坐标表示

设

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3).$$

向量的模及单位向量为

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},{\mathbf{e}}_a=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}(\mathbf{a}\ne 0).$$

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17.1.2 数量积、向量积与混合积

数量积

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$$

• 正交判据：$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$；
• $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影： $${\mathrm{Prj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}.$$

向量积

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|,|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta .$$

• 平行判据：$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$；
• $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 等于以两向量为邻边的平行四边形面积，方向按右手法则确定。

混合积

$$[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|.$$

三向量共面当且仅当 $[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=0$。

17.2 平面与直线

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17.2.1 方向角与方向余弦

非零向量 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则

$$\cos \alpha =\frac{a_1}{|\mathbf{a}|},\cos \beta =\frac{a_2}{|\mathbf{a}|},\cos \gamma =\frac{a_3}{|\mathbf{a}|},$$

且

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1.$$

17.2.2 平面方程

若平面经过 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$，则点法式为

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

常用形式：

• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$；
• 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$；
• 三点式：三个不共线点代入行列式方程；
• 平面束：经过两平面 ${\Pi }_1=0,{\Pi }_2=0$ 交线的平面可写成 ${\Pi }_1+\lambda {\Pi }_2=0$。

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17.2.3 空间直线方程

若直线经过 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\mathbf{s}=(l,m,n)$，则

$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$

为对称式，参数式为

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,\\ z=z_0+nt.\end{array}$$

直线也可表示为两个平面的交线：

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}$$

此时可取方向向量 $\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$。

17.2.4 距离公式

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

点 $P$ 到过 $P_0$、方向向量为 $\mathbf{s}$ 的直线的距离为

$$d=\frac{|\overrightarrow{P_{0}P}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}.$$

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17.2.5 位置关系与夹角

设两平面法向量为 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$，两直线方向向量为 ${\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2$。

对象	平行条件	垂直条件	夹角依据
平面与平面	${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2$	${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$	法向量夹角
直线与直线	${\mathbf{s}}_1\parallel {\mathbf{s}}_2$	${\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2=0$	方向向量夹角
直线与平面	$\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}=0$	$\mathbf{s}\parallel \mathbf{n}$	线面角与 $\mathbf{s},\mathbf{n}$ 的夹角互余

两异面直线的公垂距离可由混合积求得：

$$d=\frac{|[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2]|}{|{\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2|}.$$

17.3 空间曲线与曲面

17.3.1 空间曲线及其投影

空间曲线可写成参数形式

$$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),$$

也可写成两个曲面的交线

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$$

消去 $z$ 得到 $H(x,y)=0$ 后，与 $z=0$ 联立即得曲线在 $xOy$ 面上的投影；其余坐标面同理。求投影时必须同时写出投影曲线方程及其所在坐标面。

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17.3.2 空间曲面与常见二次曲面

曲面的一般方程为 $F(x,y,z)=0$。识别二次曲面时，可先化为标准式，再观察各平方项的符号、右端常数及缺失变量。

曲面	典型标准式	识别特征
椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	三个正平方项，封闭
单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	两正一负，连通
双叶双曲面	$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	一正两负，两支
椭圆抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	同号平方项，单向开口
双曲抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	异号平方项，马鞍形
椭圆锥面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	齐次二次式，过原点

若方程缺少某个变量，则曲面沿该变量方向平移不变，通常是柱面。母线沿固定方向移动形成的曲面称为直纹面。

17.4 曲线、曲面的切线与法平面

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17.4.1 参数曲线

曲线 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 在 $t=t_0$ 处的切向量为

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t_0)=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)).$$

切线方程为

$$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)},$$

法平面方程为

$$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0.$$

17.4.2 两曲面的交线

若曲线由 $F(x,y,z)=0$ 与 $G(x,y,z)=0$ 的交线给出，则其切向量可取

$$\mathbf{T}=\nabla F(P_0)\times \nabla G(P_0).$$

17.4.3 曲面的切平面与法线

对隐式曲面 $F(x,y,z)=0$，$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $\nabla F(P_0)$。切平面为

$$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0,$$

法线为

$$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.$$

若曲面写成 $z=f(x,y)$，可令 $F=f(x,y)-z$，因此法向量可取 $(f_x,f_y,-1)$。

17.5 方向导数与梯度

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17.5.1 标量场、向量场与方向导数

空间中每一点对应一个数量 $u(x,y,z)$ 时称为标量场；每一点对应一个向量 $\mathbf{A}(x,y,z)$ 时称为向量场。

函数 $u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿单位方向

$$\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

的方向导数定义为

$$\frac{\partial u}{\partial l}{|}_{P_0}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(P_0+t\mathbf{l})-u(P_0)}{t}.$$

若 $u$ 在 $P_0$ 可微，则

核心公式｜方向导数公式

$$\frac{\partial u}{\partial l}=u_x\cos \alpha +u_y\cos \beta +u_z\cos \gamma =\nabla u\cdot \mathbf{l}.$$

偏导数只是沿坐标轴方向的方向导数；方向导数还要由给定方向的单位向量确定。

来源说明｜原稿第 9 页

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17.5.2 梯度

$$\mathrm{grad}u=\nabla u=(u_x,u_y,u_z).$$

在 $\nabla u(P_0)\ne 0$ 时：

• $\nabla u(P_0)$ 指向 $u$ 增长最快的方向；
• 最大方向导数为 $|\nabla u(P_0)|$；
• 等值面 $u(x,y,z)=C$ 的法向量为 $\nabla u$。

17.6 散度与旋度

设向量场

$$\mathbf{A}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}.$$

其散度为

$$\mathrm{div}\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}=P_x+Q_y+R_z.$$

其旋度为

$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|.$$

重点订正｜容易混淆

梯度作用于标量场，结果是向量；散度作用于向量场，结果是标量；旋度作用于向量场，结果仍是向量。

复习速查

问题	首先寻找	核心公式或判据
平面、直线位置关系	法向量或方向向量	点积判垂直，叉积判平行
空间曲线切线	参数导数，或两个曲面的梯度	${\mathbf{r}}^{\prime }(t_0)$；$\nabla F\times \nabla G$
曲面切平面	曲面梯度	$\nabla F(P_0)$ 是法向量
最快增长方向	梯度	方向为 $\nabla u$，最大值为 $
判断源汇强弱	散度	$\nabla \cdot \mathbf{A}$
判断局部旋转	旋度	$\nabla \times \mathbf{A}$

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