高等数学第 16 章：无穷级数

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本文对应原扫描件第 52—65 页，共 14 页。正文和公式可搜索；幂级数收敛区间、周期延拓等图形保留为局部裁图。

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• 常数项级数
• 敛散性判别
• 幂级数
• 求和函数
• Taylor 展开
• Fourier 级数
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16.1 常数项级数

16.1.1 概念与分类

来源说明｜原稿第 1 页

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给定数列 $\{u_n\}$，部分和为

$$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n.$$

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$$

存在且有限，则称级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

收敛，和为 $S$；否则发散。

常见类型：正项级数、交错级数、任意项级数以及几何级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}.$$

几何级数在 $|q|<1$ 时收敛于 $a/(1-q)$，在 $|q|\ge 1$ 时发散。

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16.1.2 基本性质与必要条件

来源说明｜原稿第 2 页

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1. 线性：若 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 收敛，则 $\sum (a{u}_n+b{v}_n)$ 收敛；收敛级数与发散级数相加必发散，但两个发散级数相加未必发散。
2. ★ 增删有限项不改变级数的敛散性。
3. 收敛级数任意加括号仍收敛且和不变；反向拆括号一般不能保证保持敛散性。
4. ★ 必要条件：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛}⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0.$$

逆命题不成立，例如调和级数 $\sum 1/n$ 发散。

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16.2 级数敛散性判别

16.2.1 正项级数：比较判别法

来源说明｜原稿第 3 页

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若 $u_n\ge 0$，则部分和单调不减。因此

$$\sum u_n\text{ 收敛}⟺\{S_n\}\text{ 有上界}.$$

设 $0\le u_n\le v_n$：

• 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
• 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 发散。

极限比较判别法

设 $u_n,v_n>0$，且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=A.$$

• 若 $0<A<\infty$，两级数同敛散；
• 若 $A=0$，$\sum v_n$ 收敛可推出 $\sum u_n$ 收敛；
• 若 $A=\infty$，$\sum v_n$ 发散可推出 $\sum u_n$ 发散。

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来源说明｜原稿第 4 页

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比较时常用等价无穷小或同阶量选择基准级数。典型基准：

$$\sum \frac{1}{n^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1,\\ \text{发散},& p\le 1.\end{array}$$

★ 若含三角函数、对数或指数差，可先求通项的主阶，再与 $p$ 级数比较；只证明 $u_n\to 0$ 不能证明级数收敛。

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16.2.2 比值、根值与积分判别法

来源说明｜原稿第 5 页

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对正项级数，若极限存在：

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n},$$

或

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n},$$

则

$$\rho <1\Rightarrow \text{收敛},\rho >1\Rightarrow \text{发散},$$

而 $\rho =1$ 时判别失效。

若 $f(x)$ 在 $[1,\infty )$ 上正、连续且单调递减，并且 $u_n=f(n)$，则

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{与}{\int }_1^{\infty }f(x)dx$$

同敛散。

由此可判断含 $n^p(\ln n{)}^q$ 的级数：

$$\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^p(\ln n{)}^q}$$

在 $p>1$ 时收敛；$p<1$ 时发散；$p=1$ 时当且仅当 $q>1$ 收敛。

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16.2.3 交错级数、绝对收敛与条件收敛

来源说明｜原稿第 6 页

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Leibniz 判别法：若 $u_n\ge 0$、$u_n$ 单调不增且 $u_n\to 0$，则

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$$

收敛。

任意项级数中：

• 若 $\sum |u_n|$ 收敛，则 $\sum u_n$ 绝对收敛；
• 若 $\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散，则条件收敛。

★

$$\sum |u_n|\text{ 收敛}⟹\sum u_n\text{ 收敛},$$

反之不成立。判别任意项级数时，应先检查绝对收敛，再考虑交错结构。

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来源说明｜原稿第 7 页

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本页汇总了任意项级数的运算关系：

1. 绝对收敛级数与绝对收敛级数相加仍绝对收敛；
2. 绝对收敛级数与条件收敛级数相加仍条件收敛；
3. 两个条件收敛级数相加可能收敛，也可能发散；
4. 若 $\sum |u_n|$ 发散，不能直接推出 $\sum u_n$ 发散；
5. 比值或根值判别对 $\sum |u_n|$ 给出收敛时，原级数绝对收敛。

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16.3 幂级数

16.3.1 收敛半径与收敛区间

来源说明｜原稿第 8 页

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幂级数的一般形式为

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n.$$

Abel 定理说明：若它在某个 $x_1\ne x_0$ 处收敛，则在 $|x-x_0|<|x_1-x_0|$ 内绝对收敛；若在某点发散，则离中心更远处均发散。

因此存在收敛半径 $R$：

$$|x-x_0|<R\Rightarrow \text{绝对收敛},|x-x_0|>R\Rightarrow \text{发散}.$$

端点 $x=x_0\pm R$ 必须分别代回原级数判断。

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来源说明｜原稿第 9 页

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若

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

或

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$$

存在，则

$$R=\{\begin{array}{ll}1/\rho ,& 0<\rho <\infty ,\\ \infty ,& \rho =0,\\ 0,& \rho =\infty .\end{array}$$

★ 求收敛域的完整步骤：先求 $R$，再分别检查两个端点。平移中心、逐项求导或逐项积分通常不改变收敛半径，但端点敛散性可能改变。

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16.3.2 幂级数运算

来源说明｜原稿第 10 页

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在共同收敛区间内部，幂级数可逐项相加、相乘、求导和积分。若

$$A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n,$$

则 Cauchy 乘积为

$$A(x)B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n.$$

求和函数时常用三种操作：

1. 逐项求导消去 $1/n$ 等因子；
2. 逐项积分制造 $1/(n+1)$；
3. 提取 $x^k$ 或平移指标，使级数化为已知基本级数。

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16.4 幂级数求和函数

来源说明｜原稿第 11 页

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在收敛域内，记

$$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n.$$

常以几何级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x},|x|<1$$

为起点，通过逐项积分、求导和代换得到所求级数。例如

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x),-1\le x<1.$$

端点必须回到原级数单独讨论，不能由求和函数公式机械外推。

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16.5 函数展开成幂级数

来源说明｜原稿第 12 页

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函数在 $x_0$ 处的 Taylor 展开为

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n,$$

在 $x_0=0$ 时称为 Maclaurin 展开。

常用展开：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},-\infty <x<\infty ,$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1,$$ $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},-1<x\le 1,$$ $$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

广义二项式展开为

$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,|x|<1,$$

端点是否包含取决于 $\alpha$。

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16.6 Fourier 级数

16.6.1 一般形式与收敛值

来源说明｜原稿第 13 页

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周期为 $2l$ 的函数在 $[-l,l]$ 上的 Fourier 系数为

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,\dots ,$$ $$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,\dots$$

对应级数为

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right).$$

★ 在满足 Dirichlet 条件时，级数在连续点收敛于 $f(x)$，在跳跃间断点收敛于

$$\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},$$

端点按周期延拓后的左右极限取平均。

若 $f$ 为奇函数，只含正弦项；若为偶函数，只含余弦项。

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16.6.2 半区间展开与周期延拓

来源说明｜原稿第 14 页

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若函数只定义在 $[0,l]$：

• 作奇延拓后再作周期 $2l$ 延拓，得到正弦级数；
• 作偶延拓后再作周期 $2l$ 延拓，得到余弦级数。

正弦级数系数：

$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx.$$

余弦级数系数：

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,a_0=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)dx.$$

复习速查

1. 先验必要条件永远是 $u_n\to 0$，但它不能证明收敛。
2. 正项级数优先比较、比值、根值或积分判别。
3. 任意项级数先判绝对收敛，再看交错结构。
4. 幂级数先求半径，再单独检查两个端点。
5. 求和函数优先从几何级数出发，用求导、积分和代换。
6. Fourier 级数在间断点取左右极限平均，半区间展开先明确奇延拓还是偶延拓。

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