高等数学第 15 章：微分方程

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• 基本概念
• 一阶微分方程
• 高阶线性微分方程
• Euler 方程
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15.1 基本概念

来源说明｜原稿第 1 页

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含未知函数及其导数的方程称为微分方程。一般形式可写成

$$F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0,$$

或

$$y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}).$$

方程中出现的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

线性与非线性

$n$ 阶线性微分方程为

$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x).$$

• 若 $f(x)=0$，称为齐次线性微分方程；
• 若 $f(x)\ne 0$，称为非齐次线性微分方程；
• 若未知函数或其导数以非一次形式出现，则为非线性方程。

解、通解与初值问题

• 将函数代入方程后恒成立，称为方程的解；
• 含有与方程阶数相同个数任意常数的解，通常称为通解；
• 给定 $y(x_0),y^{\prime }(x_0),\dots$ 等条件后确定常数，得到特解。

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15.2 一阶微分方程

15.2.1 可分离变量方程与变量代换

同页续记：一阶方程的常见类型包括可分离变量、齐次型、一阶线性、Bernoulli、全微分以及可降阶方程。

若

$$y^{\prime }=f(x)g(y),$$

则在不遗漏使 $g(y)=0$ 的常数解后，可分离变量：

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx,\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C.$$

若方程含 $ax+by+c$，可令

$$u=ax+by+c,$$

利用 $du/dx=a+b,dy/dx$ 化为可分离变量方程。

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15.2.2 齐次型与一阶线性方程

来源说明｜原稿第 2 页

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★ 齐次型一阶方程

$$\frac{dy}{dx}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$$

令 $u=y/x$，即 $y=ux$，则

$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx},$$

从而化为 $u$ 与 $x$ 的可分离变量方程。

★★★ 一阶线性方程

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

的通解为

$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right].$$

若某一变量更容易作为函数，也可以把 $x$ 视为 $y$ 的函数，先化成关于 $x(y)$ 的一阶线性方程。

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15.2.3 Bernoulli 方程与可降阶方程

来源说明｜原稿第 3 页

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Bernoulli 方程为

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n,n\ne 0,1.$$

两边乘 $y^{-n}$，再令

$$z=y^{1-n},$$

即可化为关于 $z$ 的一阶线性方程。

不显含 $y$ 的二阶方程

若

$$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime }),$$

令 $p=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=dp/dx$，先求 $p(x)$，再积分得到 $y$。

不显含 $x$ 的二阶方程

若

$$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime }),$$

令 $p=y^{\prime }$，把 $p$ 看成 $y$ 的函数，则

$$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}.$$

先求 $p(y)$，再由 $dy/dx=p(y)$ 求 $y(x)$。

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15.2.4 全微分方程

来源说明｜原稿第 4 页

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方程

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

若满足

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},$$

则存在势函数 $u(x,y)$，使

$$du=Pdx+Qdy.$$

因此通解为

$$u(x,y)=C.$$

求 $u$ 时可先对 $P$ 关于 $x$ 积分，再用 $u_y=Q$ 补出只含 $y$ 的部分；也可反向处理。

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15.3 高阶线性微分方程

15.3.1 二阶常系数齐次线性方程

同页续记：高阶线性方程包括常系数齐次、常系数非齐次、可降阶以及 Euler 方程等类型。

对

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0,$$

特征方程为

$$r^2+pr+q=0.$$

设根为 $r_1,r_2$，则：

特征根	通解
两个不等实根	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
二重实根 $r$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
共轭复根 $\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

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15.3.2 二阶常系数非齐次线性方程

来源说明｜原稿第 5 页

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对

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x),$$

通解结构为

$$y=\bar{y}+y^{\ast },$$

其中 $\bar{y}$ 是对应齐次方程的通解，$y^{\ast }$ 是任一特解。

★★★ 待定系数法的核心是按右端形式设特解，并处理与特征根的重复。

若

$$f(x)=e^{\alpha x}{P}_n(x),$$

可设

$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}{Q}_n(x),$$

其中 $Q_n$ 是同次数的一般多项式；$k$ 等于 $\alpha$ 作为特征根的重数。

若

f(x)=e^{\alpha x}igl[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\bigr],

则设

$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[Q_l(x)\cos \beta x+R_l(x)\sin \beta x],$$

其中 $l=\max (m,n)$，$k$ 由 $\alpha +i\beta$ 是否为特征根及其重数决定。

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15.3.3 微分算子法

来源说明｜原稿第 6 页

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记

$$D=\frac{d}{dx},$$

则常系数线性方程可写成

$$F(D)y=f(x).$$

形式上，特解为

$$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}f(x).$$

常用规则：

1. 若 $F(\alpha )\ne 0$，则 $$\frac{1}{F(D)}{e}^{\alpha x}=\frac{e^{\alpha x}}{F(\alpha )}.$$
2. 若 $F(\alpha )=0$，需按零点重数提取相应的 $x^k$；
3. 对 $\cos \beta x$、$\sin \beta x$，可利用 $D^2=-{\beta }^2$ 化简仅含 $D^2$ 的算子；
4. 位移规则： $$\frac{1}{F(D)}(e^{\alpha x}V(x))=e^{\alpha x}\frac{1}{F(D+\alpha )}V(x).$$

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来源说明｜原稿第 7 页

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当 $1/F(D)$ 可作有限多项式运算或幂级数展开时，可先展开再作用于 $f(x)$。若 $f(x)$ 为多项式，展开到高阶导数消失即可停止。

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15.3.4 反求微分方程

来源说明｜原稿第 8 页

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若已知齐次解的组成，可以反推特征根：

• $e^{\alpha x}$ 对应实根 $r=\alpha$；
• $x^k{e}^{\alpha x}$ 表明 $\alpha$ 至少为 $k+1$ 重根；
• $e^{\alpha x}\cos \beta x$ 与 $e^{\alpha x}\sin \beta x$ 对应共轭根 $\alpha \pm i\beta$；
• 若再乘 $x^k$，则共轭根的重数至少为 $k+1$。

据此构造特征多项式，再写出常系数齐次线性微分方程。

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来源说明｜原稿第 9 页

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本页通过“已知一个特解与方程最高阶系数”反求参数及通解，使用路线为：

1. 从右端指数因子判断候选共振根；
2. 从特解中 $x$ 的次数判断该根在特征方程中的重复次数；
3. 将特解代回原方程确定未知系数；
4. 再求齐次通解并与特解相加；
5. 若表达式中出现与齐次解重合的项，应并入任意常数，而不是重复保留。

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15.3.5 高阶常系数齐次方程

同页续记：对 $n$ 阶常系数齐次方程，先写特征多项式 $F(r)=0$。每个实根或共轭复根按其重数贡献相应数量的线性无关解，所有解的总数应等于方程阶数。

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15.4 Euler 方程

来源说明｜原稿第 10 页

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二阶 Euler 方程写成

$$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x).$$

当 $x>0$ 时令

$$x=e^t,t=\ln x.$$

则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right).$$

代入后得到常系数方程

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t).$$

求得 $y(t)$ 后再代回 $t=\ln x$。当 $x<0$ 时可在相应区间令 $t=\ln (-x)$。

复习速查

1. 一阶方程先识别类型，再决定分离变量、代换或线性公式。
2. 可降阶方程先看是否缺少 $y$ 或缺少 $x$。
3. 常系数齐次方程只看特征根；非齐次方程先求齐次通解，再求一个特解。
4. 待定系数法最容易错在共振时漏乘 $x^k$。
5. Euler 方程用 $t=\ln |x|$ 化为常系数方程。

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