高等数学第 14 章：二重积分

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蓝笔补充｜使用说明

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• 概念、性质与对称性
• 直角坐标、极坐标与换元
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14.1 二重积分的概念与性质

14.1.1 定义与几何意义

来源说明｜原稿第 1 页

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设有界闭区域 $D$ 被分割成 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_i$，在每个小区域内任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$。若当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，极限

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$

存在且与分割方式及取点方式无关，则称 $f$ 在 $D$ 上可积，并定义

核心公式｜二重积分

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

其中 $d\sigma$ 是面积元素，在直角坐标下 $d\sigma =dxdy$。

当 $f(x,y)\ge 0$ 时，二重积分表示曲顶柱体的体积：

$$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma .$$

特别地，

$${\iint }_{D}1d\sigma =S_D,$$

其中 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积。

可积的常用充分条件

• $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上可积；
• 对有界函数，分片连续且间断点集合足够小，也可保证可积；
• 可积函数在 $D$ 上必有界。

14.1.2 二重积分的性质

来源说明｜原稿第 2 页

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1. 面积

$${\iint }_{D}1d\sigma =S_D.$$

2. 线性

$${\iint }_D(k_{1}f\pm k_{2}g)d\sigma =k_1{\iint }_{D}fd\sigma \pm k_2{\iint }_{D}gd\sigma .$$

3. 区域可加性
   若 $D=D_1\cup D_2$，且 $D_1,D_2$ 内部互不重叠，则

$${\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D_1}fd\sigma +{\iint }_{D_2}fd\sigma .$$

4. 可积必有界
   若 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，则存在 $M>0$ 使

$$|f(x,y)|\le M.$$

5. ★ 保序性
   若在 $D$ 上 $f\le g$，则

$${\iint }_{D}fd\sigma \le {\iint }_{D}gd\sigma .$$

6. 绝对值不等式

$$\left|{\iint }_{D}fd\sigma \right|\le {\iint }_D|f|d\sigma .$$

7. 估值

若 $m\le f(x,y)\le M$，则

$$m{S}_D\le {\iint }_{D}fd\sigma \le M{S}_D.$$

8. 积分中值定理

若 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，使

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )S_D.$$

14.1.3 对称性

使用对称性前，应同时检查积分区域和被积函数。

关于坐标轴对称

若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{ll}2{\iint }_{D\cap \{y\ge 0\}}f(x,y)d\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y),\\ 0,& f(x,-y)=-f(x,y).\end{array}$$

关于 $y$ 轴的情形同理。

关于原点对称

若 $D$ 关于原点对称，且

$$f(-x,-y)=f(x,y),$$

则可取一半区域后乘 $2$；若 $f(-x,-y)=-f(x,y)$，则积分为 $0$。

关于直线 $y=x$ 对称

若 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma .$$

因此可把原积分与交换 $x,y$ 后的积分相加，以化简被积函数。

关于直线 $x=a$ 或 $y=a$ 对称

若 $D$ 关于 $x=a$ 对称，则比较 $f(x,y)$ 与 $f(2a-x,y)$；关于 $y=a$ 对称时比较 $f(x,y)$ 与 $f(x,2a-y)$。

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14.2 二重积分的计算

14.2.1 直角坐标下的累次积分

来源说明｜原稿第 3 页

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若 $D$ 是 $X$ 型区域

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\},$$

则

核心公式｜先对

$y$ 积分

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right]dx.$$

若 $D$ 是 $Y$ 型区域

$$D=\{(x,y):c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\},$$

则

核心公式｜先对

$x$ 积分

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^d\left[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx\right]dy.$$

蓝笔补充｜写积分限的原则

先积变量的上下限可依赖后积变量；后积变量的范围必须是常数。下限必须不大于上限，必要时先分区。

交换积分次序

1. 根据原积分限画出区域 $D$；
2. 将区域改写成另一种类型；
3. 必要时按边界交点分割；
4. 按新的区域描述写出累次积分。

对称化技巧

当区域关于 $y=x$ 对称时，

$$I={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

可与

$$I={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$$

相加，得到

$$2I={\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]d\sigma .$$

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14.2.2 极坐标下的计算

来源说明｜原稿第 4 页

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极坐标变换为

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

面积元素必须写成

核心公式｜极坐标面积元素

$$dxdy=rdrd\theta .$$

因此

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta .$$

积分限的两种常见情形：

• 原点在区域外：$\theta \in [\alpha ,\beta ]$，$r\in [r_1(\theta ),r_2(\theta )]$；
• 原点在区域内且每条射线与边界只交一次：$r\in [0,r(\theta )]$。

重点订正｜高频错误

极坐标换元后不能漏掉 Jacobian 因子 $r$。

适合使用极坐标的信号

• 区域由圆、圆环、扇形或过原点射线围成；
• 被积函数含 $x^2+y^2$；
• 区域或被积函数具有旋转对称性。

14.2.3 直角坐标与极坐标配合

若积分区域的几何边界用极坐标容易表达，而某一内层积分在直角坐标下更简单，可先利用对称性、交换次序或局部换元，再决定最终坐标系。坐标选择应由“区域和被积函数一起”决定。

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14.2.4 二重积分的一般换元

来源说明｜原稿第 5 页

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设

$$x=x(u,v),y=y(u,v),$$

并且变换在相应区域内一一对应，Jacobian 不为零，则

核心公式｜二重积分换元公式

$${\iint }_{D_{xy}}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv.$$

其中

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|.$$

换元时必须同时完成三件事：

1. 将被积函数改写为 $u,v$；
2. 将积分区域 $D_{xy}$ 改写为 $D_{uv}$；
3. 将 $dxdy$ 替换为 Jacobian 绝对值乘 $dudv$。

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