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蓝笔补充｜使用说明

本文由 8 页手写扫描笔记转写而成。正文与常规公式已转换为可搜索的 Markdown/LaTeX；几何关系只保留必要的局部裁图。每页均设有页内锚点和原稿入口。

来源：打开第 13 章扫描 PDF

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• 13.1 基本概念
  • 邻域与去心邻域
  • 二重极限
  • 连续与间断
  • 偏导数及几何意义
  • 可微、全微分和高阶偏导
• 13.2 多元微分法则
  • 复合函数链式法则
  • 全微分形式不变性
  • 隐函数求导
  • 多元微分中值结论
• 13.3 极值与最值
  • 必要条件
  • Hessian 判别
  • 条件极值
  • 闭区域最值
• 复习速查

原稿逐页入口

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13.1 多元微分的基本概念

13.1.1 邻域

来源说明｜原稿第 1 页

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设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$ 平面内一点，$P(x,y)$ 为动点，距离

$$\rho (P,P_0)=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}.$$

以 $P_0$ 为中心、$\delta >0$ 为半径的邻域为

$$U(P_0,\delta )=\{P:\rho (P,P_0)<\delta \}.$$

去心邻域为

$$\mathring{U}(P_0,\delta )=\{P:0<\rho (P,P_0)<\delta \}.$$

一元与二元邻域的对应关系：

$$U(x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0+\delta ),$$ $$\mathring{U}(x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ).$$

蓝笔补充｜与一元情形的差异

一元函数可从左、右两个方向逼近；二元函数可沿平面内无穷多条路径逼近。二重极限必须与逼近路径无关。

13.1.2 多元函数极限

二重极限的定义

设函数 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。若

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$$

当

$$0<\rho (P,P_0)<\delta$$

时恒有

$$|f(x,y)-A|<\epsilon ,$$

则称

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A,$$

也可写作 ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$。

存在性与唯一性

• 一元函数：左右极限都存在且相等，双侧极限才存在；
• 多元函数：沿任意路径趋于 $P_0$ 所得极限都必须相同；
• 若找到两条路径使极限不同，二重极限必不存在；
• 仅验证若干条路径相同，不能证明二重极限存在。

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二重极限的性质

来源说明｜原稿第 2 页

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设

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A,\underset{P\to P_0}{\lim }g(P)=B.$$

常用性质如下。

1. 唯一性：极限若存在则唯一。
2. 局部有界性：极限存在时，$f$ 在 $P_0$ 的某个去心邻域内有界。
3. 局部保号性：若 $A>0$，则在充分小的去心邻域内 $f(P)>0$；反向结论需保留严格正下界，不能仅由 $f(P)>0$ 推出 $A>0$。
4. 四则运算：

$$\lim (f\pm g)=A\pm B,\lim (fg)=AB,$$ $$\lim \frac{f}{g}=\frac{A}{B}(B\ne 0).$$

5. 夹逼定理：若 $g(P)\le f(P)\le h(P)$，且

$$\underset{P\to P_0}{\lim }g(P)=\underset{P\to P_0}{\lim }h(P)=A,$$

则 ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$。

常用二重极限放缩

令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，则

$$|x|\le r,|y|\le r,$$ $$x^2\le x^2+y^2,y^2\le x^2+y^2,$$ $$|xy|\le \frac{x^2+y^2}{2},\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right|\le \frac{1}{2}.$$

一元基本不等式仍可用于复合量：

$$|\sin u|\le |u|,1-\cos u\le \frac{u^2}{2},$$ $$|\ln (1+u)|\le C|u|,|e^u-1|\le C|u|$$

（后两式在 $u$ 的充分小邻域内成立）。

也可令

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r\to 0^{+},$$

把二重极限转化为对 $r$ 的估计；若所得表达式仍依赖 $\theta$，需检查是否能对所有 $\theta$ 一致控制。

无穷小

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A⟺f(P)=A+\alpha (P),\alpha (P)\to 0.$$

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13.1.3 连续

来源说明｜原稿第 3 页

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函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 连续，当且仅当

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0).$$

与一元函数相同，间断可表现为可去间断、跳跃、无穷或振荡；但二元函数沿不同路径的行为可能不同，不能照搬“左右极限”的判定方式。

13.1.4 偏导数

设 $z=f(x,y)$，在点 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}.$$

关于 $y$ 的偏导数为

$$f_y(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.$$

常用记号：

$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=z_x,f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=z_y.$$

几何上，$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 被平面 $y=y_0$ 截得的曲线在该点的切线斜率；$f_y(x_0,y_0)$ 对应平面 $x=x_0$ 的截线斜率。

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13.1.5 可微与全微分

来源说明｜原稿第 4 页

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★★★

令

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0),$$ $$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}.$$

若存在与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数 $A,B$，使

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),$$

则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。此时

$$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0),$$

全微分为

核心公式｜二元函数的全微分

$$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy.$$

可微、连续、偏导与极限的关系

$$\text{可微}⟹\text{连续}⟹\text{极限存在}⟹\text{局部有界},$$ $$\text{可微}⟹\text{偏导数存在}.$$

反向一般不成立。常用充分条件是：若 $f_x,f_y$ 在点的某邻域内存在并在该点连续，则 $f$ 在该点可微。

判断可微可直接检验

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0.$$

高阶偏导数

$$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},$$ $$f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}.$$

若两个二阶混合偏导数在点的某邻域内连续，则

$$f_{xy}=f_{yx}.$$

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13.2 多元微分法则

13.2.1 复合函数链式法则

来源说明｜原稿第 5 页

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若

$$z=f(u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y),$$

则

核心公式｜多元复合函数链式法则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$$

若 $u=u(t),v=v(t)$，则全导数为

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}.$$

链式法则可按依赖关系图逐条相乘、同层相加；求偏导时，未沿该路径变化的变量视为常量。

13.2.2 全微分形式不变性

无论 $x,y$ 是自变量还是其他变量的可微函数，全微分始终写为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$

若 $z=f(u,v)$，且 $u,v$ 又依赖 $x,y$，则

$$dz=f_{u}du+f_{v}dv,$$

再将 $du,dv$ 展开即可。这就是全微分形式不变性。

隐式微分示例结构

若

$$F(x,y,z)=e^{x+2y+3z}+xyz-1=0,$$

则

$$dF=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0,$$

只要 $F_z\ne 0$，便可解出

$$dz=-\frac{F_x}{F_z}dx-\frac{F_y}{F_z}dy.$$

13.2.3 隐函数求导

一元隐函数 $F(x,y)=0$ 在点附近确定 $y=y(x)$，若 $F_y\ne 0$，则

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

若 $F(x,y,z)=0$ 在点附近确定 $z=z(x,y)$，且 $F_z\ne 0$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.$$

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13.2.4 多元微分中值结论

来源说明｜原稿第 6 页

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若 $D$ 是区域，$f$ 在 $D$ 内可微，且

$$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0((x,y)\in D),$$

则 $f$ 在 $D$ 内为常数。

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13.3 多元函数极值与最值

★★★

点 $(x_0,y_0)$ 是局部极大值点，是指存在其某个邻域，使邻域内所有点均满足

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0).$$

局部极小值的定义把不等号反向。极值是局部概念，最值则是在指定区域上的整体比较。

13.3.1 极值的必要条件

若 $f$ 在内点 $(x_0,y_0)$ 可偏导并取得极值，则

$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0.$$

满足上述方程的点称为驻点。还需检查偏导数不存在的点，以及区域边界上的点。

13.3.2 二元函数极值的充分条件

设驻点 $(x_0,y_0)$ 附近二阶偏导连续，记

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0),$$ $$\Delta =AC-B^2.$$

则：

条件	结论
$\Delta >0,A>0$	严格局部极小值
$\Delta >0,A<0$	严格局部极大值
$\Delta <0$	鞍点，不是极值点
$\Delta =0$	判别失效，需另行分析

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13.3.3 条件极值与 Lagrange 乘数法

来源说明｜原稿第 7 页

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在约束

$$\phi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$$

下求 $f(x,y,z)$ 的条件极值，构造 Lagrange 函数

$$L(x,y,z,\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)+\mu \psi (x,y,z).$$

令所有一阶偏导数为零：

$$\{\begin{array}{l}{L}_x=0,\\ L_y=0,\\ L_z=0,\\ L_{\lambda }=\phi =0,\\ L_{\mu }=\psi =0.\end{array}$$

解出全部候选点，再将其代回目标函数比较。若只有一个约束，只需一个乘子。

典型应用：几何最远、最近问题

• 光滑曲线外一点到曲线的最短连线，在最近点处垂直于曲线切线；
• 两条不相交光滑曲线之间的最短连线，在两个端点处分别垂直于各自切线；
• 距离问题可优先极值化“距离的平方”，以避免根式。

原稿例题的建模骨架

若约束可化为 $a^2+b^2=1$，目标量为 $S=b-a$，则构造

$$L(a,b,\lambda )=b-a+\lambda (a^2+b^2-1),$$

解

$$L_a=-1+2\lambda a=0,L_b=1+2\lambda b=0,L_{\lambda }=a^2+b^2-1=0,$$

最后比较全部候选点的目标函数值。

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13.3.4 有界闭区域上的最值

来源说明｜原稿第 8 页

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连续函数在有界闭区域上一定能取得最大值和最小值。求解时按以下顺序进行：

1. 在区域内部求 $f_x=f_y=0$ 的驻点，并补查偏导不存在的内点；
2. 在每一段边界上求条件极值，可参数化、降为一元问题或使用 Lagrange 乘数法；
3. 检查边界的端点、角点和分段连接点；
4. 比较所有候选点处的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

重点订正｜高频遗漏

只求内部驻点，或只使用二阶判别法而不检查边界，不能完成闭区域最值问题。

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复习速查

概念关系

$$\boxed{\text{可微}⟹\text{连续、偏导存在}}$$

但“连续”“偏导存在”以及“极限存在”均不能单独反推可微。偏导数在邻域内存在并在考察点连续，是常用的可微充分条件。

求导路线

结构	优先方法
显函数 $z=f(x,y)$	分别固定其他变量求偏导
复合函数	依赖关系图：沿路径相乘、同层相加
隐函数 $F(x,y)=0$	$y^{\prime }=-F_x/F_y$
隐函数 $F(x,y,z)=0$	$z_x=-F_x/F_z,z_y=-F_y/F_z$
全微分	$dz=f_{x}dx+f_{y}dy$

极值题流程

1. 无约束极值：求驻点与不可导点，再用 Hessian 或定义判断；
2. 条件极值：写出约束，构造 Lagrange 函数，解全部方程；
3. 闭区域最值：内部、每段边界、端点和角点全部比较；
4. 几何距离题优先对距离平方求极值。

公式索引

• 二重极限
• 偏导数
• 可微与全微分
• 链式法则
• 隐函数求导
• Hessian 判别
• Lagrange 乘数法