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蓝笔补充｜使用说明

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• 第 8 章：概念与性质
  • 原函数与不定积分
  • Riemann 定积分及性质
  • 变限积分
  • 反常积分及判敛
• 第 9 章：一元积分的计算
  • 基本积分公式
  • 换元、分部与有理函数积分
  • 定积分计算
  • 变限积分计算
  • 反常积分计算与 Gamma 函数
• 第 10 章：几何应用
  • 平面图形面积
  • 旋转体体积
  • 质心与弧长
  • 旋转曲面面积
• 第 11 章：积分中值与不等式
  • 积分中值定理
  • 积分不等式
• 复习速查

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• 第 10 章：第 20 页 · 第 21 页 · 第 22 页 · 第 23 页 · 第 24 页 · 第 25 页
• 第 11 章：第 26 页 · 第 27 页 · 第 28 页

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第 8 章：一元函数积分学的概念与性质

8.1 不定积分与原函数

来源说明｜原稿第 1 页

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8.1.1 原函数与不定积分

若在区间 $I$ 上恒有

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。

若 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则 $f$ 在 $I$ 上的全部原函数为

$$F(x)+C,C\in \mathbb{R}.$$

因此不定积分定义为

核心公式｜不定积分

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

这里必须明确区间 $I$；跨越不连续点时，不同连通区间上的积分常数可以不同。

8.1.2 原函数存在问题

★★★

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• 若 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上一定存在原函数；
• 连续是原函数存在的充分条件，不是必要条件；
• 若 $f$ 有原函数，则 $f$ 具有 Darboux 性质：即使不连续，也不能出现第一类跳跃间断；
• 导函数可以不连续，但其不连续通常表现为振荡型第二类间断。

重点订正｜不能反推

“存在原函数”不能推出“函数连续”。真正能推出的是导函数具有介值性。

若 $f$ 可导，则 $f^{\prime }$ 可能不连续；但若 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，则 $f$ 在 $x_0$ 连续。

8.2 定积分

8.2.1 定积分定义与几何意义

★★★

将 $[a,b]$ 分割为

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内任取 ${\xi }_i$，记

$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\lambda =\underset{i}{\max }\Delta x_i.$$

若极限

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

存在，并且与分割及取点方式无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并定义

核心公式｜Riemann 定积分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

对等距分割，$\Delta x=(b-a)/n$，可写成

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\frac{b-a}{n}.$$

在 $[0,1]$ 上尤其常见：

$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right).$$

几何上，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示带符号面积；它与积分变量使用 $x,t,u$ 等字母无关。

来源说明｜原稿第 3 页

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8.2.2 可积的充分条件和必要条件

定积分存在当且仅当函数在闭区间上 Riemann 可积。常用充分条件：

• $f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
• $f$ 在 $[a,b]$ 上单调；
• $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个第一类间断点；
• 更一般地，有界且间断点集满足 Riemann 可积判据。

必要条件：

核心公式｜可积必有界

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

反之不成立；仅有界不能保证可积。

8.2.3 可积、可导、连续与有界的关系

★

在闭区间上的常用关系链：

$$\text{可导}\Rightarrow \text{连续}\Rightarrow \text{可积}\Rightarrow \text{有界}.$$

各逆命题一般均不成立。典型反例：

• 连续但不可导：尖点、折点、竖直切线；
• 可积但不连续：只有有限个第一类间断点的有界函数；
• 有界但不可积：Dirichlet 型函数。

8.2.4 定积分的性质

来源说明｜原稿第 4 页

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线性与区间可加性

$${\int }_a^{b}Adx=A(b-a),$$ $${\int }_a^b[k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx=k_1{\int }_a^{b}f(x)dx+k_2{\int }_a^{b}g(x)dx,$$ $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx.$$

保序性与估值

★

若 $f(x)\le g(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

并有

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx.$$

若 $m\le f(x)\le M$，则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$

积分中值定理

★★★

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使

核心公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).$$

也就是曲线下的带符号面积等于“某个函数值 × 区间长度”。

8.3 变限积分

8.3.1 变限积分函数

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定义

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,a\le x\le b.$$

这里 $t$ 是哑变量，$x$ 是上限变量。

8.3.2 变限积分的连续与可导

• ★ 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上连续；
• ★★★ 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

若 $x_0$ 是 $f$ 的第一类间断点，则

$$F_{-}^{\prime }(x_0)=f(x_0-0),F_{+}^{\prime }(x_0)=f(x_0+0).$$

只有两个单侧极限相等时，$F^{\prime }(x_0)$ 才存在；若 $f(x_0)$ 与该共同极限不同，则仍有 $F^{\prime }(x_0)$ 等于共同极限，而不等于 $f(x_0)$。

周期与对称

★★★

若 $f$ 以 $2l$ 为周期，并取

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,$$

则：

• $f$ 为奇函数时，$F$ 为偶函数；
• $f$ 为偶函数时，$F$ 为奇函数；
• $F$ 是否仍为周期函数，取决于一个周期内的积分是否为零。

8.3.3 三类积分的区别

类型	写法	存在条件	结果	与原函数关系
不定积分	$\int f(x)dx$	$f$ 存在原函数	一族函数	$F(x)+C$
定积分	${\int }_a^{b}f(x)dx$	$f$ 在 $[a,b]$ 可积	一个数	$F(b)-F(a)$
变限积分	${\int }_a^{x}f(t)dt$	$f$ 在相应区间可积	关于 $x$ 的函数	连续；连续点处导数为 $f(x)$

8.4 反常积分

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8.4.1 定义与拆分

反常积分由两类情形产生：积分区间无穷，或被积函数在有限区间内存在无界点。

无穷区间：

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx,$$ $${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

对整个实轴必须任取 $x_0$ 后拆开：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{x_0}f(x)dx+{\int }_{x_0}^{+\infty }f(x)dx.$$

两部分都收敛时才称原反常积分收敛；不能用两个发散量相消。

有限区间内若 $a$ 为瑕点，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx.$$

若内部 $c\in (a,b)$ 是瑕点，必须拆成 $[a,c)$ 与 $(c,b]$ 两段分别判断。

重点订正｜反常积分与 Cauchy 主值不同

普通反常积分要求拆开的每一段分别收敛；对称截断得到的主值不能代替这一条件。

8.4.2 判敛方法

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比较判别法

设 $0\le f(x)\le g(x)$：

• 若 $\int g(x)dx$ 收敛，则 $\int f(x)dx$ 收敛；
• 若 $\int f(x)dx$ 发散，则 $\int g(x)dx$ 发散。

记忆：大函数收敛推出小函数收敛；小函数发散推出大函数发散。

极限比较判别法

若 $f,g>0$，且在瑕点或无穷远处

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda ,$$

则：

• $0<\lambda <\infty$：两积分同敛散；
• $\lambda =0$：$f$ 比 $g$ 小，$\int g$ 收敛可推出 $\int f$ 收敛；
• $\lambda =\infty$：$f$ 比 $g$ 大，$\int g$ 发散可推出 $\int f$ 发散。

8.4.3 重要 p 型结论

★★★

来源说明｜原稿第 8 页

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核心公式｜两个方向的临界指数相反

$${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p<1,\\ \text{发散},& p\ge 1,\end{array}{\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1,\\ \text{发散},& p\le 1.\end{array}$$

更一般地，若 $a$ 是瑕点，则

$${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p<1,\\ \text{发散},& p\ge 1.\end{array}$$

含对数因子的常用结论：

$${\int }_0^1\frac{|\ln x{|}^q}{x^p}dx(q>-1)\text{收敛}⟺p<1,$$ $${\int }_e^{+\infty }\frac{(\ln x{)}^q}{x^p}dx\text{收敛}⟺\{\begin{array}{l}p>1,\\ p=1\text{ 且 }q<-1.\end{array}$$

对称性只能在反常积分已经收敛的前提下使用：

• $f$ 偶且 ${\int }_0^{\infty }f$ 收敛，则 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f=2{\int }_0^{\infty }f$；
• $f$ 奇且两侧均收敛，则 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f=0$。

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第 9 章：一元积分的计算

9.1 基本积分公式

★★★

来源说明｜原稿第 9 页

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幂、指数与对数

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1),$$ $$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C,$$ $$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1),$$ $$\int e^{x}dx=e^x+C.$$

三角函数

$$\int \sin xdx=-\cos x+C,\int \cos xdx=\sin x+C,$$ $$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C,\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C,$$ $$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C,$$ $$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C,$$ $$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C,\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C,$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C,\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C.$$

二次型的常用结果：

$$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$$ $$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C,$$ $$\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C,\int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x+C.$$

来源说明｜原稿第 10 页

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反三角函数与根式

$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,$$ $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0),$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0),$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C,$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C,$$ $$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C,$$ $$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.$$

9.2 不定积分的计算方法

9.2.1 第一换元法：凑微分

若能识别 $u=g(x)$ 及其微分，则

核心公式

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du.$$

常见凑微分模式包括：

$$xdx=\frac{1}{2}d(x^2),\frac{dx}{x}=d(\ln |x|),e^{x}dx=d(e^x),$$ $$\sin xdx=-d(\cos x),\cos xdx=d(\sin x),$$ $${\sec }^{2}xdx=d(\tan x),{\csc }^{2}xdx=-d(\cot x).$$

例：

$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C.$$

9.2.2 第二换元法

来源说明｜原稿第 11 页

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令 $x=\phi (t)$，则

$$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$$

三角代换

★

• $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x=a\sin t$；
• $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x=a\tan t$；
• $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x=a\sec t$。

例如

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx,x=a\sin t,|t|\le \frac{\pi }{2},$$

可化为 $a^2\int {\cos }^{2}tdt$，最后回代得到

$$\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.$$

来源说明｜原稿第 12 页

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根式代换与倒代换

★★★

• 当多个根式含 $ax+b$ 时，可令 $ax+b=t^n$，其中 $n$ 取各根指数分母的最小公倍数；
• 分母次数明显高于分子时，可尝试 $x=1/t$；
• 对 $a^x,e^x,\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 等，也可直接把整体设为新变量。

若出现 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$，先配方为

$$\sqrt{\phi (x{)}^2+k^2},\sqrt{k^2-\phi (x{)}^2},\sqrt{\phi (x{)}^2-k^2},$$

再按对应三角代换处理。

9.2.3 分部积分法

★

核心公式

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

选择 $u$ 的经验：反三角、对数、幂函数通常优先作 $u$；指数与三角函数通常作 $dv$。核心目标是让 $du$ 变简单，并使剩余积分降阶。

典型例子：

$$\int \ln (1+x^2)dx=x\ln (1+x^2)-2x+2\arctan x+C,$$ $$\int x^3{e}^{x}dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C.$$

来源说明｜原稿第 13 页

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循环积分

例如记

$$I=\int e^t\sin tdt.$$

连续两次分部积分后原积分重新出现：

$$I=e^t\sin t-e^t\cos t-I,$$

从而

$$I=\frac{1}{2}{e}^t(\sin t-\cos t)+C.$$

分部积分的消项法

有时展开被积式后分别积分反而复杂，可先把某一部分写成微分，再分部积分，使中间积分彼此抵消。

多项式与指数或三角函数的组合可使用表格分部法：

$$\int P_n(x)e^{ax}dx,\int P_n(x)\sin bxdx,\int P_n(x)\cos bxdx.$$

9.2.4 有理函数积分

来源说明｜原稿第 14 页

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对

$$\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,$$

先比较次数：若 $n\ge m$，先作多项式除法；真分式再对 $Q_m$ 因式分解并作部分分式分解。

常见分解结构：

$$\frac{A}{ax+b},\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots ,$$ $$\frac{Ax+B}{p{x}^2+qx+r},\frac{A_{1}x+B_1}{p{x}^2+qx+r}+\frac{A_{2}x+B_2}{(p{x}^2+qx+r{)}^2}+\cdots .$$

对不可约二次因子，常把分子拆成“分母导数的倍数 + 常数”，分别得到对数项与反三角项。

9.3 定积分计算

9.3.1 Newton-Leibniz 公式

来源说明｜原稿第 15 页

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若 $F$ 是连续函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

核心公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

若 $f$ 在有限个点分段连续，可分段寻找原函数后分别使用公式；只要各分段积分都存在，整体定积分仍存在。

9.3.2 定积分换元与分部积分

令 $x=\phi (t)$ 时，必须同时更换上下限：

★

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt,$$

其中 $\phi (\alpha )=a$、$\phi (\beta )=b$，并保证换元满足所需连续与单调条件。

分部积分：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx.$$

9.3.3 对称性、周期性与区间再现

来源说明｜原稿第 16 页

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若积分存在，则

$$f\text{ 为偶函数}\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx,$$ $$f\text{ 为奇函数}\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0.$$

若 $f$ 以 $T$ 为周期并可积，则任意长度为 $T$ 的区间积分相等：

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx.$$

★★ 区间再现公式：

核心公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx.$$

两式相加常得到

$$2{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx.$$

★★ 例如

$$I={\int }_0^{\pi /4}\ln (1+\tan x)dx.$$

令 $x\mapsto \pi /4-x$，利用

$$1+\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{2}{1+\tan x},$$

可得

$$I=\frac{\pi }{8}\ln 2.$$

Wallis 公式

来源说明｜原稿第 17 页

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设

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx.$$

递推关系为

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}.$$

因此

$$I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数},\\ \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1,& n\text{ 为奇数}.\end{array}$$

并可据区间对称性换算 $[0,\pi ]$ 或 $[0,2\pi ]$ 上的幂积分；奇偶性必须单独检查。

9.4 变限积分计算

若

$$F(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt,$$

且相关函数满足连续可导条件，则

核心公式｜Leibniz 公式

$$F^{\prime }(x)=f({\phi }_2(x)){\phi }_2^{\prime }(x)-f({\phi }_1(x)){\phi }_1^{\prime }(x).$$

若被积函数还含参数 $x$，则需再加上偏导积分项：

$$\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}F(x,t)dt=F(x,b)b^{\prime }-F(x,a)a^{\prime }+{\int }_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)dt.$$

★★★ 含绝对值的变限积分，应先找被积函数变号点并分段，再求导或展开。

来源说明｜原稿第 18 页

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例如对 $0<x<\pi /2$，

$$F(x)={\int }_x^{\pi /2}|\sin x-\sin t|dt=\cos x-\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin x.$$

在 $x\to 0^{+}$ 时

$$F(x)=1-\frac{\pi }{2}x+\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2).$$

9.4.1 奇偶性与周期性

设 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$：

• $f$ 奇，则 $F$ 偶；
• $f$ 偶，则 $F$ 奇；
• 若 $f$ 以 $T$ 为周期，则 $F$ 为周期函数当且仅当

$${\int }_0^{T}f(t)dt=0.$$

9.5 反常积分计算

常见面积

来源说明｜原稿第 19 页

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$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi },{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1.$$

Gamma 函数

★

定义

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx,\alpha >0.$$

分部积分得递推关系

$$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha ).$$

常用值：

$$\Gamma (1)=1,\Gamma (n+1)=n!,\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$$ $$\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi },\Gamma \left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }.$$

由换元 $t=ax$ 可得

$${\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-ax}dx=\frac{\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}=\frac{n!}{a^{n+1}},a>0.$$

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第 10 章：一元积分的几何应用

积分应用的统一思路是：选取合适的微元，写出局部量 $dQ$，再在完整区间上积分。

10.1 平面图形面积

来源说明｜原稿第 20 页

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10.1.1 直角坐标系

★

用竖直微元 $dx$：

$$dS=|y_{\text{上}}(x)-y_{\text{下}}(x)|dx,$$ $$S={\int }_a^b|y_1(x)-y_2(x)|dx.$$

若两曲线在区间内部相交，应先求交点并分段，保证每段“上减下”的关系固定。

用水平微元 $dy$：

$$dS=|x_{\text{右}}(y)-x_{\text{左}}(y)|dy,$$ $$S={\int }_A^B|x_1(y)-x_2(y)|dy.$$

选 $dx$ 还是 $dy$，以分段少、边界函数简单为准。

10.1.2 极坐标系

来源说明｜原稿第 21 页

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扇形微元为

$$dS=\frac{1}{2}{r}^2(\theta )d\theta .$$

两条极径 $r_1(\theta )$、$r_2(\theta )$ 围成的面积为

核心公式

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }\left|r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )\right|d\theta .$$

必须检查：

• 积分角度区间是否覆盖所求区域且没有重复；
• $r^2$ 消除了半径正负号，但曲线追踪方向仍可能导致重复计数；
• 图形有对称性时，可先算一部分再乘倍数。

10.1.3 参数方程

若边界由

$$x=x(t),y=y(t),t\in [\alpha ,\beta ]$$

给出，则把原面积积分中的 $dx$ 或 $dy$ 换为

$$dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt.$$

例如竖直微元形式可化为

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }|y_1(t)-y_2(t)||x^{\prime }(t)|dt.$$

一般不应同时使用 $x(t)$ 与 $y(t)$ 两套不同参数。

10.2 旋转体体积

来源说明｜原稿第 22 页

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10.2.1 垫片法（截面法）

微元垂直于旋转轴。若绕 $x$ 轴旋转，外半径 $R(x)$、内半径 $r(x)$，则

核心公式

$$dV=\pi (R^2(x)-r^2(x))dx,$$ $$V=\pi {\int }_a^b(R^2(x)-r^2(x))dx.$$

绕直线 $y=h$ 旋转时，半径改为到 $y=h$ 的距离；绕 $y$ 轴时可用反函数，把半径写成关于 $y$ 的函数。

反函数形式：

$$V=\pi {\int }_A^B(R^2(y)-r^2(y))dy.$$

10.2.2 柱壳法

来源说明｜原稿第 23 页

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微元平行于旋转轴。绕 $y$ 轴旋转时，柱壳半径为 $|x|$，高度为 $|f(x)-g(x)|$：

核心公式

$$V=2\pi {\int }_a^b|x||f(x)-g(x)|dx.$$

绕直线 $x=k$ 旋转：

$$V=2\pi {\int }_a^b|x-k||f(x)-g(x)|dx.$$

绕 $x$ 轴旋转时，使用水平壳层：

$$V=2\pi {\int }_A^B|y||x_{\text{右}}(y)-x_{\text{左}}(y)|dy.$$

绕 $y=k$ 旋转时，把半径改为 $|y-k|$。

蓝笔补充｜选法原则

垫片法的微元垂直旋转轴，柱壳法的微元平行旋转轴。优先选择不需要求反函数、分段较少的方向。

10.2.3 绕斜直线旋转

来源说明｜原稿第 24 页

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设旋转轴

$$L_0:Ax+By+C=0,$$

曲线 $y=f(x)$（$x\in [a,b]$）与 $L_0$ 至多有一个交点。原稿给出的截面计算公式为

$$V=\frac{\pi }{(A^2+B^2{)}^{3/2}}{\int }_a^b[Ax+Bf(x)+C{]}^2|A{f}^{\prime }(x)-B|dx.$$

重点订正｜使用前先画图

斜轴旋转公式依赖曲线与旋转轴的相对位置及是否重复覆盖。若题目区域跨越旋转轴，应先分区讨论，不能机械套式。

10.3 质心与弧长

10.3.1 平面薄片质心

对于区域

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\},$$

面积

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx,$$

质心坐标为

核心公式

$$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx},\bar{y}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}.$$

密度不均匀时，应在面积微元中乘密度函数，再用“总矩 / 总质量”。

10.3.2 弧长

直角坐标 $y=f(x)$：

$$ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx,$$ $$L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx.$$

参数方程：

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

极坐标 $r=r(\theta )$：

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta .$$

10.4 旋转曲面面积

来源说明｜原稿第 25 页

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曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转：

核心公式

$$A=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx.$$

参数形式：

$$A=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

极坐标曲线绕 $x$ 轴旋转：

$$A=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|r(\theta )\sin \theta |\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta .$$

绕 $y$ 轴时，把旋转半径换成 $|x|$；任何旋转曲面公式都必须使用点到旋转轴的实际距离。

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第 11 章：积分中值定理与积分不等式

11.1 积分中值定理

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来源说明｜原稿第 26 页

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11.1.1 第一积分中值定理

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若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则存在 $\xi \in [a,b]$，使

核心公式

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx.$$

取 $g(x)\equiv 1$，得到

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).$$

证明可令

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)g(t)dt,G(x)={\int }_a^{x}g(t)dt,$$

再对 $F,G$ 使用 Cauchy 中值定理。

积分中值定理常与以下工具联用：

• Rolle 定理；
• Lagrange、Cauchy 中值定理；
• Taylor 公式及余项；
• 保序性与比较估计。

11.1.2 两类证明模式

来源说明｜原稿第 27 页

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权函数集中到端点

若 $f$ 在 $[1,2]$ 连续，则由积分中值定理

$${\int }_1^{2}f(x)e^{-x^n}dx=f({\xi }_n){\int }_1^2{e}^{-x^n}dx.$$

$f({\xi }_n)$ 有界，而右侧权函数积分可比较为趋于零，因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_1^{2}f(x)e^{-x^n}dx=0.$$

从加权平均值构造导数符号

若加权积分条件能推出某个内点 $\eta$ 满足 $f(\eta )$ 等于已知端点值，则先在端点与 $\eta$ 间用 Rolle 定理得到 $f^{\prime }({\xi }_1)=0$；再在 $\eta$ 与另一端点间用 Lagrange 中值定理得到 $f^{\prime }({\xi }_2)<0$；最后对 $f^{\prime }$ 再用一次 Lagrange 中值定理，即可推出某点 $f^{\prime \prime }(\xi )<0$。

这类题的结构是：

$$\text{积分中值定理}\to \text{函数值相等或大小关系}\to \text{Rolle/Lagrange}\to \text{高阶导数结论}.$$

11.2 积分不等式

11.2.1 保序与绝对值

来源说明｜原稿第 28 页

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若 $f(x)<g(x)$，可先利用积分保序性：

$${\int }_a^{b}f(x)dx<{\int }_a^{b}g(x)dx.$$

常用绝对值估计：

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)||g(x)|dx,$$ $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx.$$

若 $m\le f(x)\le M$ 且 $x\ge 0$，则

$$m{x}^n\le x^{n}f(x)\le M{x}^n,$$

积分后即可得到带权积分的上下界。遇到可积但不便直接比较的题，可先用保序性缩放，再判断对应反常积分。

11.2.2 常用工具清单

积分不等式常用：

1. 单调性与保序性；
2. 凸性、Jensen 不等式；
3. Taylor 公式与余项；
4. 换元与分部积分；
5. Cauchy-Schwarz 不等式；
6. 微分方程或构造辅助函数；
7. 降幂、配方及反常积分比较。

若 $f\in C^1[a,b]$ 且 $f(a)=f(b)=0$，可从

$$f(x)={\int }_a^x{f}^{\prime }(t)dt=-{\int }_x^b{f}^{\prime }(t)dt$$

得到端点约束下的估计，例如

$$|f(x)|\le \frac{1}{2}{\int }_a^b|f^{\prime }(t)|dt.$$

重点订正｜不等式证明检查单

• 比较积分时，被积函数不等号是否在整个积分区间成立？
• 乘上权函数后是否保持同号？
• 反常积分比较时，比较函数的收敛性是否已经确认？
• 取绝对值、平方或开方时，是否写明非负条件？
• 使用中值定理时，连续、可导和不变号条件是否完整？

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复习速查

积分计算方法选择

被积式特征	优先方法
出现复合函数及内层导数	第一换元法、凑微分
根式 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$	三角代换
多个分式根式	幂代换，指数取分母最小公倍数
对数、反三角函数、幂函数与指数/三角函数相乘	分部积分
有理真分式	部分分式分解
定积分区间对称	奇偶性、区间再现、周期性
无穷区间或瑕点	先写极限，再作比较或极限比较

几何应用选微元

目标	微元方向	公式核心
平面面积	竖条或横条	上减下 / 右减左
旋转体垫片法	垂直旋转轴	$\pi (R^2-r^2)$
旋转体柱壳法	平行旋转轴	$2\pi \cdot \text{半径}\cdot \text{高度}$
弧长	沿曲线	$ds$
旋转曲面	沿曲线	$2\pi \cdot \text{半径}\cdot ds$

高频易错点

• 不定积分必须写积分常数 $C$，并注意定义区间；
• 定积分换元必须同步更换上下限；
• 变限积分含绝对值时先找变号点；
• 全实轴反常积分必须在任一点拆成两段分别收敛；
• $p$ 型积分在零点与无穷远处的临界方向相反；
• 利用奇偶性处理反常积分前，先确认普通反常积分确实收敛；
• 旋转体公式中的半径是到旋转轴的距离，平移轴后必须加绝对值；
• 面积、体积与曲面面积不得出现负值，必要时分段或取绝对值。

公式索引

• Riemann 定积分
• 变限积分基本定理
• 反常积分 $p$ 型判敛
• 基本积分公式
• 分部积分法
• 定积分对称技巧
• Gamma 函数
• 旋转体体积
• 质心与弧长
• 积分中值定理