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蓝笔补充｜复习目标

掌握极限与连续的判定逻辑，熟练选择极限计算方法，能证明递推数列收敛并计算其极限。本文只保留数一所需主干；详细推导回到原笔记查看。

一、知识结构

flowchart LR
    A["函数与数列"] --> B["极限存在"]
    B --> C["极限计算"]
    C --> D["连续性"]
    D --> E["闭区间定理"]
    B --> F["数列收敛"]
    F --> G["递推数列"]

    B --> B1["左右极限·夹逼·单调有界"]
    C --> C1["等价无穷小·重要极限"]
    C --> C2["洛必达·Taylor·幂指型"]
    D --> D1["连续条件·间断点分类"]
    F --> F1["子列·放缩·主导项"]

数一复习优先级

层级	内容
核心	极限计算、左右极限、连续与间断点、递推数列、夹逼与单调有界
必须理解	极限定义与性质、无穷小阶数、子列、闭区间连续函数性质
辅助工具	Stolz 定理、压缩估计、黎曼和识别

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第一章　函数、极限与连续

1.1 函数基础

内容	必须掌握的结论
定义域	分母不为零；偶次根被开方数非负；对数真数为正；反三角函数满足取值限制
复合函数	$x\in D_g$ 且 $g(x)\in D_f$
奇偶性	$f(-x)=f(x)$ 为偶函数；$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数
分段函数	分界点必须分别检查左右极限、函数值和左右导数

重点订正｜第一检查项

极限、连续、求导之前先写定义域。函数在某点无定义，不代表该点极限一定不存在。

1.2 极限与连续的核心逻辑

函数极限

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon .$$

极限只研究 $x_0$ 附近，不直接使用 $f(x_0)$。

左右极限

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A.$$

遇到分段函数、绝对值、符号函数，优先计算左右极限。

连续

$$f\text{ 在 }{x}_0\text{ 连续}⟺\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

连续必须同时满足：

1. $f(x_0)$ 有定义；
2. 双侧极限存在；
3. 极限等于函数值。

查看原笔记：极限定义与性质

1.3 极限性质与存在准则

结论	使用条件或含义
唯一性	极限存在时其值唯一
局部有界	有限极限存在 $\Rightarrow$ 函数在去心邻域有界
局部保号	极限 $A>0$，则充分靠近时函数为正
四则运算	商的分母极限必须非零
夹逼准则	$g\le f\le h$ 且 $g,h\to A$，则 $f\to A$
单调有界	单调递增有上界或单调递减有下界，则相应极限存在

重点订正｜不能倒推

局部有界不能推出极限存在；函数在去心邻域为正且极限存在，只能推出极限非负。

1.4 无穷小与等价替换

设 $\alpha ,\beta \to 0$：

$$\frac{\beta }{\alpha }\to 0\Rightarrow \beta =o(\alpha ),\frac{\beta }{\alpha }\to 1\Rightarrow \beta \sim \alpha .$$

常用等价无穷小（$x\to 0$）

$$\sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim x,$$ $$e^x-1\sim \ln (1+x)\sim x,$$ $$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x,1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6},\tan x-x\sim \frac{x^3}{3},$$ $$x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3},\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}.$$

重点订正｜替换边界

等价无穷小适合乘积、商式。加减式可能发生主项抵消，必须展开到第一个不抵消项。

1.5 极限计算

方法选择

原式结构	优先方法	关键检查
可直接代入	连续性与四则运算	点是否在定义域内
$0/0$	因式分解、等价无穷小	抵消后是否仍为未定式
$\infty /\infty$	提取主导项、洛必达	分母是否确实趋于无穷
$0\cdot \infty$	改写成商	变形后的类型
$\infty -\infty$	通分、有理化、Taylor	首个不抵消项
$1^{\infty },0^0,{\infty }^0$	取对数	底数在实数范围内为正
分段或绝对值	左右极限	两侧结果是否相等
含参数	Taylor 或主项比较	令低阶项按题意抵消

两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e,\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e.$$

若 $u\to 0$、$v\to \infty$ 且 $uv\to A$，则在底数为正时

$$(1+u{)}^v\to e^A.$$

洛必达法则

只直接处理 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 型。使用前检查：去心邻域可导、分母导数不为零、导数比极限存在或为无穷。

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

导数比没有极限，不能反推原极限不存在。

Taylor 主项

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5),$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5),$$ $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2).$$

展开到相减后第一个不抵消的非零项即可。

幂指型

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}.$$

先求 $v\ln u$ 的极限，再作指数还原。不能在指数中不加检查地使用等价替换。

查看原笔记：极限计算方法

1.6 间断点与连续函数性质

间断点分类

类型	左右极限
可去间断点	左右极限有限且相等，但函数值缺失或不相等
跳跃间断点	左右极限有限但不相等
无穷间断点	至少一个单侧极限为无穷
振荡间断点	至少一个单侧极限因振荡不存在

前两类是第一类间断点；后两类是第二类间断点。

闭区间上连续函数

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，则：

• $f$ 有界；
• $f$ 能取得最大值和最小值；
• $f$ 具有介值性；
• 若 $f(a)f(b)<0$，则至少存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$。

零点定理只保证存在性；证明唯一性还需单调性或其他条件。

1.7 第一章题型入口

题型	解题主线
求极限	代入判型 → 变形 → 选等价、洛必达或 Taylor
含参极限	展开 → 找最低阶项 → 令系数满足题意
分段函数连续	左极限 = 右极限 = 函数值
间断点分类	找候选点 → 算左右极限 → 分类
零点存在	构造连续函数 → 找端点异号区间

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第二章　数列极限

2.1 定义与基本性质

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A⟺\forall \epsilon >0,\exists N,n>N\Rightarrow |x_n-A|<\epsilon .$$

性质	结论
唯一性	收敛数列只有一个极限
有界性	收敛 $\Rightarrow$ 有界；反向不成立
子列	原数列收敛，则所有子列趋于同一极限
发散判定	找到两个极限不同的子列即可证明发散
保号与四则运算	与函数极限相应性质一致

查看原笔记：数列及其极限

2.2 数列极限方法

结构	方法
有理式、多项式	提取最高次幂
对数、幂、指数、阶乘混合	比较增长速度
振荡因子	夹逼或构造不同子列
$n$ 次根	取对数或最大项夹逼
和式	裂项、夹逼、Stolz、黎曼和
乘积	取对数化为和式
递推数列	单调有界或压缩估计

增长速度：

$$(\ln n{)}^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n(a>1,\alpha ,\beta >0).$$

2.3 递推数列

flowchart LR
    A["找不变区间"] --> B["证明有界"]
    B --> C["证明单调"]
    C --> D["得到收敛"]
    D --> E["设极限为 A"]
    E --> F["解 A=f(A)"]
    F --> G["按区间筛选合法根"]

对

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

标准顺序是：先证明收敛，再由连续性得到

$$A=f(A).$$

直接解不动点方程只能得到候选极限，不能证明数列收敛。

若存在 $0<q<1$ 使

$$|x_{n+1}-A|\le q|x_n-A|,$$

则 $x_n\to A$。

2.4 和式、乘积与根式

和式夹逼

若 $m_n\le u_k\le M_n$，则

$$n{m}_n\le \sum _{k=1}^n{u}_k\le n{M}_n.$$

黎曼和接口

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)⟶{\int }_0^{1}f(x)dx.$$

这是与定积分章节的接口；尚未使用积分时可先尝试夹逼。

乘积取对数

$$P_n=\prod _{k=1}^n{u}_k\Rightarrow \ln P_n=\sum _{k=1}^n\ln u_k.$$

$n$ 次根

$$\sqrt[n]{a_n}=e^{\ln a_n/n}.$$

2.5 Stolz 定理（辅助）

当 $y_n$ 严格递增且 $y_n\to +infty$，在其余条件满足时：

$$\lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L\Rightarrow \lim \frac{x_n}{y_n}=L.$$

适合数列比值、累加和与幂次比较。必须检查分母数列条件，且不能反向使用。

查看原笔记：数列极限计算

2.6 第二章题型入口

题型	解题主线
显式通项	比较增长速度，提取主导项
振荡数列	看振幅是否趋零；否则比较子列
递推数列	有界 + 单调 → 收敛 → 解不动点
和式极限	裂项、夹逼、Stolz 或黎曼和
乘积极限	取对数转成和式

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三、考前一页速查

必须会写的关系

$$\text{连续}\Rightarrow \text{极限存在},\text{可导}\Rightarrow \text{连续},$$ $$\text{单调}+\text{有界}\Rightarrow \text{收敛},$$ $$x_n\to A\Rightarrow \text{任意子列均趋于 }A.$$

必须避免的错误

1. 不检查定义域便直接代入；
2. 把函数值与极限混为一谈；
3. 只算一侧便判断双侧极限；
4. 在加减式中直接替换等价无穷小；
5. 未判型便使用洛必达法则；
6. 幂指型不取对数，或忽略底数为正；
7. 左右极限相等便直接判断连续；
8. 用零点定理证明唯一根；
9. 递推数列先解 $A=f(A)$，却没有证明收敛；
10. 把有界误当成收敛，或反向使用 Stolz 定理。

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