高等数学第 1—2 章：函数极限与数列极限

← 返回高数笔记总索引

来源：打开扫描 PDF

本文由 13 页手写扫描笔记转写而成。正文和常规公式已转换为可搜索的 Markdown/LaTeX；手绘图、涂改以及密集推导保留在对应原稿页图中。配色沿用原稿：蓝色用于章节、方法和补充，红色只用于订正、警示及重点图像，正文保持黑色。

目录

• 第一章 函数、极限与连续
  • 极限定义与无穷小（第 1 页）
  • 极限的性质（第 2 页）
  • 左极限与右极限（第 3 页）
  • 洛必达法则与幂指型（第 4 页）
  • 泰勒展开（第 5 页）
  • 重要极限与七种未定式（第 6 页）
  • 常见极限不存在的情形（第 7 页）
• 第二章 数列极限
  • 数列基础（第 8 页）
  • 数列极限定义与性质（第 9 页）
  • 夹逼与放缩（第 10 页）
  • 常用不等式与压缩映射（第 11 页）
  • 单调有界与 Stolz 定理（第 12 页）
  • 收敛速度与计算路线（第 13 页）
• 极限计算方法选择表
• 核心易错点
• 原稿页图超链接

第一章 函数、极限与连续

本扫描件在本章中实际整理的是“函数极限”部分，未包含独立的连续性定义与性质。

一、极限的定义及性质

查看原稿第 1 页 · 返回目录

1. 极限的定义

函数在点 $x_0$ 的去心邻域

$$\mathring{U}(x_0,\delta )=\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta \}.$$

极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义：

核心公式｜核心定义

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon .$$

2. 无穷小与无穷大

• 无穷小量：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$。
• 无穷大量：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$。无穷大量的极限不是有限实数。

无穷小的比较（设 $\alpha (x)\to 0$、$\beta (x)\to 0$）：

$$\lim \frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=\{\begin{array}{ll}0,& \beta \text{ 是 }\alpha \text{ 的高阶无穷小};\\ \infty ,& \beta \text{ 是 }\alpha \text{ 的低阶无穷小};\\ A\ne 0,& \beta \text{ 与 }\alpha \text{ 是同阶无穷小};\\ 1,& \alpha \sim \beta \text{（等价无穷小）}.\end{array}$$

若

$$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=A\ne 0,$$

则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。

3. 等价无穷小的基本思想

★

在极限计算中可忽略高阶无穷小。例如

$$x+x^3\sim x(x\to 0).$$

也可由泰勒展开理解：

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$

其中相对低阶主项而言，高阶余项可以忽略。

4. 常见等价无穷小

★★★

以下均在 $x\to 0$ 时成立：

等价式	等价式
$\sin x\sim x$	$\tan x\sim x$
$\ln (1+x)\sim x$	$e^x-1\sim x$
$\arcsin x\sim x$	$\arctan x\sim x$
${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$	$x-\ln (1+x)\sim \frac{x^2}{2}$
$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$	$\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sim x$
$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$	$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3}$
$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$	$\arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6}$
$x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}$	$\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}$

幂指型常写成

$$u^v=e^{v\ln u}.$$

当 $u\to 1$ 时，应先计算 $v\ln u$ 的极限。虽然 $\ln u\sim u-1$，但当 $v$ 发散时，不能无条件把指数中的 $\ln u$ 替换为 $u-1$。只有在

$$v[\ln u-(u-1)]\to 0$$

时，才有

$$e^{v\ln u}\sim e^{v(u-1)}.$$

查看原稿第 2 页 · 返回目录

5. 无穷小相关运算提示

• 常数与不存在的极限或无穷大量做加减，结果一般仍可能不存在或为无穷。
• $0\cdot \infty$、$\infty -\infty$ 等不能直接判断，必须比较阶数或变形。
• ★ 若 $f$ 有界且 $\alpha \to 0$，则 $\alpha f\to 0$；等价地，有界量除以无穷大量趋于 $0$。
• 两个本身不存在的量相加减，结果可能存在，也可能不存在。
• $\infty \cdot \infty$ 仍表现为无穷大量，但符号需结合具体情形判断。

6. 极限的性质

1. 唯一性

   $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

   中的极限 $A$ 唯一。

2. 局部有界性

   若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 为有限值，则存在 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得

   $$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|\le M.$$

3. ★★★ 局部保号性

   • 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)>0$，则在某个去心邻域内 $f(x)>0$。
   • 若在某个去心邻域内 $f(x)\ge 0$ 且极限存在，则极限 $\ge 0$。

4. 单调有界准则（函数形式）

   单调递增且有上界，或单调递减且有下界时，相应的单侧极限存在。

5. 四则运算

   设 $\lim f(x)=A$、$\lim g(x)=B$，则

   $$\lim c=c,$$ $$\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B,$$ $$\lim [f(x)g(x)]=AB,$$ $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0).$$

6. ★★★ 夹逼准则

   若在 $x_0$ 的某个去心邻域内

   $$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

   且

   $$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A,$$

   则

   $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A.$$

7. 局部保序性

   若在某个去心邻域内 $f(x)\le g(x)$，且两者极限分别为 $A$、$B$，则 $A\le B$。

查看原稿第 3 页 · 返回目录

7. 左极限与右极限

核心公式｜双侧极限存在的充要条件

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A\text{且}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A.$$

二、极限计算与方法

查看原稿第 4 页 · 返回目录

1. 洛必达法则

★★★

适用于 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式。在满足相应条件时，

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\lim \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}=\cdots .$$

• 分子、分母求导后若仍为未定式，可以继续使用。
• 洛必达法则的逆命题一般不成立。
• 若反复求导仍不能简化，应改用其他方法。

若极限中含幂指结构，可先取对数或把变量从指数中提出，再处理所得极限。

2. 无穷小的忽略与直接计算

★ 常见增长速度（$n\to \infty$，$a>1$，$\alpha ,\beta >0$）：

$$(\ln n{)}^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n.$$

更一般地，

$$(\ln x{)}^{\alpha }\ll x^{\beta }\ll a^x.$$

若 $f(n)=o(g(n))$，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(n)}{g(n)}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{g(n)}{f(n)}=\infty$$

（需同时考虑符号和分母非零条件）。

在和或差中，可以保留最高阶无穷大（或最低阶无穷小）并忽略低阶项；但不能不经变形就在任意乘除结构中直接删项。

例：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{100}+2^n}{3^n+2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0.$$

利用泰勒展开：

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5),$$

按所需精度保留到第一个不被抵消的项。

3. 幂指型未定式

★

$0\cdot \infty$ 型先改写为商；$1^{\infty }$、${\infty }^0$、$0^0$ 型使用

$$u^v=e^{v\ln u}$$

化为指数函数极限。

例如

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{\ln n}{n}}=1.$$

来源说明｜原稿说明

本页末尾有一段被划去的“综合例题”演算。为避免把废弃步骤误写成结论，不将其并入正文；原始内容完整保留在原稿页图中。

查看原稿第 5 页 · 返回目录

4. 泰勒展开

★★★

在 $x=0$ 处的泰勒展开：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n).$$

★★★ 常用麦克劳林展开：

$$\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}{x}^k=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,x\in (-1,1],$$ $$\frac{1}{1+x}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^k=1-x+x^2-x^3+\cdots ,|x|<1,$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k=1+x+x^2+x^3+\cdots ,|x|<1,$$ $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+\cdots ,x\in (-1,1),$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots ,$$ $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots +\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}+\cdots ,$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}+\cdots ,$$ $$\mathrm{arsinh}x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}-\cdots =\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right).$$

由展开式可得到更高阶的等价无穷小：

$$x-\ln (1+x)\sim \frac{x^2}{2},$$ $$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x,$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6},$$ $$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3},$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$\arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6},$$ $$x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3},$$ $$\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}.$$

图像记忆

原稿用红色曲线在同一坐标系比较了 $\tan x$、$\arcsin x$、$x$、$\sin x$、$\arctan x$ 等函数在 $0$ 附近的大小关系，并标注“相邻函数间存在对应的高阶差”。

查看原稿第 6 页 · 返回目录

5. 展开原则

1. 商 $A/B$ 型：分子、分母展开到相同的有效阶数。

   例：

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2))}{x^2}=\frac{1}{2}.$$

2. 差 $A-B$ 型：分别展开，直到找到相减后第一个不抵消的非零项。

   例：

   $$\cos x-e^{-x^2/2}=\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\right)-\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)\right)\sim -\frac{x^4}{12}.$$

6. 两个重要极限

核心公式｜必须熟记

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$$ $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e,$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e.$$

7. 夹逼准则

若

$$h(x)\le f(x)\le g(x),$$

且两侧同趋于 $A$（或同趋于 $+\infty$），则中间函数也趋于 $A$（或 $+\infty$）。

8. 七种未定式

类别	未定式	常用处理方式
基本型	$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty }{\infty }$	洛必达法则、等价无穷小、泰勒展开
转化型	$0\cdot \infty$	改写为商，化成基本型
转化型	$\infty -\infty$	通分、根式有理化、泰勒展开
幂指型	$1^{\infty }$、${\infty }^0$、$0^0$	写成 $u^v=e^{v\ln u}$，先求 $v\ln u$

幂指型中常见的指数判断：

• $v\ln u\to 0$，则 $u^v\to 1$；
• $v\ln u\to -\infty$，则 $u^v\to 0$；
• $v\ln u\to +\infty$，则 $u^v\to +\infty$。

查看原稿第 7 页 · 返回目录

9. 常见极限不存在的情形

1. 绝对值导致左右极限不同

   例如

   $$\frac{|\sin x|}{x},\frac{\sin x}{|x|},\frac{x}{|x|},\frac{|x|}{x}$$

   在 $x\to 0$ 时通常需要分别考察左右极限。

2. 三角函数在 $x\to \infty$ 时振荡

   $\sin x$、$\cos x$、$\tan x$ 以及相应倒数函数通常没有极限。

3. 反正切函数的特殊情况

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2},$$ $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2},\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}.$$

   因而 $\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x}$ 不存在；另一方面，

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\arctan x=0,\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan \frac{1}{x}=0.$$

编辑说明｜转写校正说明

原稿标题处疑似把“$\arctan$”写成“$\arcsin$”，但紧随其后的公式和图像全部是反正切函数。正文按公式所表达的 $\arctan$ 转写，原写法保留在页图中。

第二章 数列极限

一、数列及其极限

查看原稿第 8 页 · 返回目录

1. 数列

等差数列：

$$a_n=a_1+(n-1)d,$$ $$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{[2a_1+(n-1)d]n}{2}.$$

等比数列：

$$a_n=a_1{q}^{n-1},$$ $$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& q=1,\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q},& q\ne 1.\end{array}$$

并且

$$1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}(q\ne 1).$$

2. 单调数列与有界数列

• 若对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$a_{n+1}\ge a_n$，则数列单调不减；若 $a_{n+1}\le a_n$，则单调不增。
• 若存在 $M>0$，使任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都有 $|a_n|\le M$，则数列有界。

证明有界性的常见方法：

1. 直接寻找 $M$；
2. 缩放法；
3. 求最值；
4. 数学归纳法。

3. 常见前 $n$ 项和

$$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2},$$ $$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.$$

4. 两个重要数列

$$\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}\text{ 单调递增，且 }\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e,$$ $$\left\{(1+n{)}^{1/n}\right\}\text{ 单调递减，且 }\underset{n\to \infty }{\lim }(1+n{)}^{1/n}=1.$$

查看原稿第 9 页 · 返回目录

5. 数列极限的定义

★★★

核心公式｜核心定义

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{\ast },n>N\Rightarrow |x_n-a|<\epsilon ⟺\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a.$$

数列是自变量为离散整数的函数，而函数极限中的自变量可以连续变化。

几何意义：无论 $\epsilon >0$ 多小，从数列某一项开始，其后所有项都落在区间

$$(a-\epsilon ,a+\epsilon )$$

内；区间长度为 $2\epsilon$，区间外只有有限项。

6. 数列极限的性质

1. 唯一性：若 $\lim x_n=a$，则 $a$ 唯一。

2. 有界性：收敛数列必有界。

3. 保号性与保序性：

   • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=L>a$（或 $L<a$），则充分靠后的项满足 $x_n>a$（或 $x_n<a$）；
   • 若充分靠后的项满足 $x_n\ge a$（或 $\le a$），且极限存在，则极限 $\ge a$（或 $\le a$）。

4. 子列性质：原数列收敛，则任意子列收敛于同一极限；若有两个子列极限不同，则原数列发散。

5. 四则运算：若 $\lim x_n=a$、$\lim y_n=b$，则

   $$\lim (x_n\pm y_n)=a\pm b,$$ $$\lim (x_n{y}_n)=ab,$$ $$\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}(b\ne 0).$$

6. ★★★ 绝对值：

   $$\lim a_n=0⟺\lim |a_n|=0.$$

   一般地，若 $\lim f(x)=A$，则 $\lim |f(x)|=|A|$；反向推断只有在极限为 $0$ 等附加条件下才能成立。

7. 收敛与有界：收敛数列必有界；有界数列不一定收敛。单调有界数列必收敛。

8. ★ 根式与最大项思想：处理 $n$ 次根、若干正项之和时，可以比较最大项并使用夹逼；原稿的具体演算见页图。

二、数列极限的法则与计算

查看原稿第 10 页 · 返回目录

1. 海涅（归结）定理

★★★

函数极限可以转化为相应数列极限：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域有定义，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

等价于：对任何满足 $x_n\to x_0$ 且 $x_n\ne x_0$ 的数列，都有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A.$$

该定理可用于把函数极限的洛必达法、泰勒展开、左右极限等方法迁移到数列问题。

2. 数列夹逼准则

★★

若存在 $n_0$，当 $n>n_0$ 时

$$y_n\le x_n\le z_n,$$

且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a,$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a.$$

证明夹逼关系时常用放缩、函数性质及常见数列估计。

3. 常用放缩方法

★★★

1. 最小项与最大项

   若 $u_{\min }\le u_i\le u_{\max }$，则

   $$n{u}_{\min }\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n{u}_{\max }.$$

   若所有 $u_i\ge 0$，还可写成

   $$u_{\max }\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n{u}_{\max }.$$

2. ★ 绝对值与三角不等式

   $$|a\pm b|\le |a|+|b|,||a|-|b||\le |a-b|,$$ $$|a_1\pm a_2\pm \cdots \pm a_n|\le |a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|.$$

3. 算术平均、几何平均与均方根（正数）

   $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$$ $$\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}.$$

4. ★ 比值放缩

   在正数并满足相应大小关系时，可通过分子、分母分别放缩得到比值的上下界；原稿给出的示意见页图。

查看原稿第 11 页 · 返回目录

4. 常见函数性质与不等式

幂函数比较需要区分指数符号：

$$a\ge b\ge 0,m>0\Rightarrow a^m\ge b^m,$$ $$a\ge b>0,m<0\Rightarrow a^m\le b^m.$$

常用三角函数不等式：

$$\sin x<x(x>0),$$ $$\sin x<x<\tan x\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right),$$ $$x<\tan x<\frac{4}{\pi }x\left(0<x<\frac{\pi }{4}\right),$$ $$\sin x>\frac{2}{\pi }x\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right),$$ $$\arctan x\le x\le \arcsin x(0\le x\le 1).$$

★ 常用指数、对数不等式：

$$e^x\ge x+1(x\in \mathbb{R}),$$ $$x-1\ge \ln x(x>0),$$ $$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0).$$

5. 压缩映射思想

★★★

若存在 $k\in (0,1)$，使数列满足

$$|x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|,$$

则

$$0\le |x_{n+1}-a|lek|x_n-a|le\cdots \le k^n|x_1-a|\to 0,$$

所以 $x_n\to a$。

对递推数列

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

若 $f(a)=a$，且在相关区间内 $|f^{\prime }(x)|\le k<1$，则由拉格朗日中值定理

$$|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|=|f^{\prime }({\xi }_n)||x_n-a|\le k|x_n-a|,$$

从而 $x_n\to a$。

查看原稿第 12 页 · 返回目录

6. 单调有界准则

核心公式｜判定结论

单调有界数列必收敛：

• 单调递增且有上界 $\Rightarrow$ 收敛；
• 单调递减且有下界 $\Rightarrow$ 收敛。

若

$$x_n\le x_{n+1}\le a,$$

则 $x_n$ 单调递增且以 $a$ 为上界；若

$$a\le x_{n+1}\le x_n,$$

则 $x_n$ 单调递减且以 $a$ 为下界。

★ 证明单调性的常见方法：

1. 数学归纳法；
2. ★ 对递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 使用函数的单调性；
3. 作差：判断 $x_{n+1}-x_n$ 的符号；
4. 正项数列可作商：比较 $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ 与 $1$；
5. 必要时利用基本不等式。

7. 斯托尔茨定理（Stolz-Cesàro）

★

用于数列的 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型。常用条件分别为：

• $\frac{\infty }{\infty }$ 型：$y_n$ 严格递增且 $y_n\to +\infty$；
• $\frac{0}{0}$ 型：$x_n\to 0$，$y_n>0$ 严格递减且 $y_n\to 0$。

在相应条件成立、差分分母非零，并且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L,$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L,$$

其中 $L$ 可以为有限数或无穷。

★★★ 例：求

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sum _{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^3}}{\frac{1}{n^2}}.$$

令

$$x_n=\sum _{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^3},y_n=\frac{1}{n^2},$$

则

$$x_{n+1}-x_n=-\frac{1}{n^3},$$ $$y_{n+1}-y_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}-\frac{1}{n^2},$$

代入差商可得原极限为

$$\frac{1}{2}.$$

对 $\infty /\infty$ 型，原稿还给出了

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^k+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

的 Stolz 推导。

重点订正｜红笔订正

使用 Stolz 定理时必须核对分母数列的严格单调性及对应条件。差商极限不存在时，不能简单据此断定原比值极限不存在；Stolz 定理在这里不能反向使用。

查看原稿第 13 页 · 返回目录

8. 两个趋于同一极限的数列：收敛速度

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a,$$

记误差

$$u_n=|x_n-a|,v_n=|y_n-a|.$$

若

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n},$$

则：

• $L=0$：$x_n$ 比 $y_n$ 收敛快；
• $L=b>0$：二者同阶，$x_n$ 的误差渐近为 $y_n$ 误差的 $b$ 倍；
• $L=\infty$：$x_n$ 比 $y_n$ 收敛慢。

计算时的增长速度顺序：

核心公式｜增长速度

$$(\ln n{)}^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n(a>1,\alpha >0,\beta >0).$$

★ 在和、差及根式比较中保留足以决定极限的主导项；在其他结构中先进行合法变形，不能直接删项。

9. 数列极限计算的识别路径

9.1 先识别通项或代数结构

1. 显式初等函数型：通项只含 $n$ 的有理式、幂、指数、对数、三角函数、常数 $\pi$、阶乘 $n!$ 等。
2. 无穷项累加型：包含关于 $n$ 的求和符号 $\sum$。
3. 连续乘积或根式型：包含乘积符号 $\prod$，或根式中包含 $n$。
4. 阶乘、指数混合型：同时含 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等不同增长速度的项。
5. 递推关系型：形如 $x_{n+1}=f(x_n)$，不能直接得到通项。

9.2 对应方法

• 第 1 类：使用等价无穷小、泰勒展开、最高阶项比较等函数极限方法。
• 第 2 类：
  • 若可写成 $$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right),$$ 则识别为黎曼和： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$$
  • 也可使用夹逼、放缩或 Stolz 定理。
• 第 3 类：对乘积或幂取对数，把乘法转化为加法；幂指型写成 $u_n^{v_n}=e^{v_n\ln u_n}$。
• 第 4 类：比较收敛或增长速度，保留最高阶项、忽略低阶项，再进行因式分解。
• 第 5 类（递推数列）：
  1. 证明单调有界；
  2. 设极限为 $A$，由递推关系求解 $A=f(A)$；
  3. 用数学归纳法证明有界性和单调性；
  4. 若出现 $(-1{)}^n$ 等正负交替，应额外检查振荡与子列极限，不能直接设极限。

蓝笔补充

对 $n$ 求导不是处理数列极限的通用合法步骤；应把表达式转化为函数问题后再使用相应定理，或直接采用数列方法。

---

极限计算方法选择表

观察到的结构	优先考虑的方法	使用前检查
$0/0$、$\infty /\infty$	因式分解、等价无穷小、泰勒展开、洛必达法则	洛必达法则的适用条件是否成立
$0\cdot \infty$	改写为商	变形后是否成为基本未定式
$\infty -\infty$	通分、有理化、提取主导项、泰勒展开	相减后首个不抵消项
$1^{\infty }$、$0^0$、${\infty }^0$	写成 $e^{v\ln u}$	先求 $v\ln u$，不能随意替换指数中的等价无穷小
含 $\sum$ 的数列	裂项、夹逼、黎曼和、Stolz 定理	项数、步长和积分区间是否匹配
递推数列 $x_{n+1}=f(x_n)$	单调有界、压缩映射、不动点方程	先证明收敛，再令极限满足 $A=f(A)$
多种增长速度混合	提取最高阶项或比较阶数	只在合法的和差或因式分解后忽略低阶项

返回目录 · 返回顶部

核心易错点

易错警示｜易错清单

1. 等价无穷小通常用于乘积、商或经过合法变形的表达式，不能在任意加减式中直接替换。
2. $\infty$ 不是普通实数；$0\cdot \infty$、$\infty -\infty$ 等都是未定式。
3. 使用洛必达法则前必须确认极限类型及定理条件；反复求导不能简化时应更换方法。
4. 在幂指型中，即使 $\ln u\sim u-1$，也要检查外部因子是否会放大替换误差。
5. 收敛数列必有界，但有界数列未必收敛；单调与有界两个条件缺一不可。
6. Stolz 定理不能反向使用；差商极限不存在，不能直接推出原比值极限不存在。
7. 对递推数列，直接解 $A=f(A)$ 只能得到候选极限，不能替代收敛性证明。

返回目录 · 返回顶部

---

原稿页图超链接

如需逐字核对颜色、箭头、涂改或空间布局，可查看以下原稿图：

1. 第 1 页
2. 第 2 页
3. 第 3 页
4. 第 4 页
5. 第 5 页
6. 第 6 页
7. 第 7 页
8. 第 8 页
9. 第 9 页
10. 第 10 页
11. 第 11 页
12. 第 12 页
13. 第 13 页

返回目录 · 返回顶部